双対加群

R-加群Mの双対加群（そうついかぐん、英: dual module）とは数学において、R-加群Mに対して、Mから「R-加群として見たR」への加群準同型全体が、値ごとの演算によって成す新たなR-加群の事である。通常、双対ベクトル空間の例に倣って${\displaystyle M^{*}}$あるいは${\displaystyle {\mathrm {Hom} }_{R}(M,R)}$などと表記される。

R-加群Mの双対(R-)加群M^*のさらに双対である、

${\displaystyle M^{**}={\mathrm {Hom} }_{R}(M^{*},R)}$

のことをMの二重双対加群（にじゅうそうついかぐん、英: double dual module）という。 これは、 「加群準同型の全体へと制限された写像空間 M^*⊂ R^M」からRへの 加群準同型全体のなす集合（に値ごとの演算でR-加群の構造を入れたもの） だから、

M^**の元は、 加群準同型 ${\displaystyle f:M\to R}$ になにかしらの元 ${\displaystyle a\in R}$ を対応させた写像で

${\displaystyle \phi :M^{*}\ni f\mapsto a\in R}$

という形をしている。そこで各 ${\displaystyle r\in R}$に対し、

${\displaystyle \phi _{r}:M^{*}\ni f\mapsto f(r)\in R}$

という写像を考えると、これはM^*からRへの加群準同型になるので、

${\displaystyle \forall r\in R:\phi _{r}\in M^{**}}$ 。

これに基づいて、写像 ${\displaystyle \chi :M\to M^{**}}$を

${\displaystyle \chi (r)\quad {\underset {\mathrm {def} }{=}}\quad \phi _{r}}$

と定めたとき、${\displaystyle \chi }$ もまた加群準同型となり、その直観的にも圏論的にも自然な様から

R-加群MからM^**への正準写像（英: canonical map, en: Canonical map）あるいは自然な写像（英: natural map ）と呼ばれる。

• ブルバキ 著、金行壮二、銀林浩 訳『数学原論』 代数 2、東京図書、1970年。NDLJP:1383300。 

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