R-加群Mの双対加群(そうついかぐん、英: dual module)とは数学において、R-加群Mに対して、Mから「R-加群として見たR」への加群準同型全体が、値ごとの演算によって成す新たなR-加群の事である。通常、双対ベクトル空間の例に倣って
あるいは
などと表記される。
定義
二重双対加群
R-加群Mの双対(R-)加群M*のさらに双対である、
![{\displaystyle M^{**}={\mathrm {Hom} }_{R}(M^{*},R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81192ef576986c3ac82a0cb8883ed522868a4daa)
のことをMの二重双対加群(にじゅうそうついかぐん、英: double dual module)という。 これは、 「加群準同型の全体へと制限された写像空間 M*⊂ RM」からRへの 加群準同型全体のなす集合(に値ごとの演算でR-加群の構造を入れたもの) だから、
M**の元は、 加群準同型
になにかしらの元
を対応させた写像で
![{\displaystyle \phi :M^{*}\ni f\mapsto a\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a66a6435ddddb5cd17baf79d5d69d13f019789)
という形をしている。そこで各
に対し、
![{\displaystyle \phi _{r}:M^{*}\ni f\mapsto f(r)\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad18c1b4d544e54c682ae2d0f225700bd1e86e78)
という写像を考えると、これはM*からRへの加群準同型になるので、
。
これに基づいて、写像
を
![{\displaystyle \chi (r)\quad {\underset {\mathrm {def} }{=}}\quad \phi _{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574411d09c800883355368c54341e578664870bd)
と定めたとき、
もまた加群準同型となり、その直観的にも圏論的にも自然な様から
R-加群MからM**への正準写像(英: canonical map, en: Canonical map)あるいは自然な写像(英: natural map )と呼ばれる。
脚注
参考文献
関連項目
外部リンク