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半角正接置換 (はんかくせいせつちかん、英 : Tangent half-angle substitution )とは数学において、主に積分 計算で利用される正接 tan による変数変換である。ワイエルシュトラス置換 とも呼ばれる。三角関数 のみで構成された積分に対してこの置換を施すことにより、有理関数 へと変形することができる。すなわち、
t = tan θ 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}} なる置換をすることにより、
∫ f ( sin θ , cos θ ) d θ = ∫ f ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \int f(\sin \theta ,\,\cos \theta )\,{\rm {d}}\theta =\int f{\biggl (}{\frac {2t}{1+t^{2}}},\,{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\biggr )}\,{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t} と変形されるのである。また、正弦 sin や余弦 cos が自乗されている場合や、一次の正弦、余弦どうしの積などが含まれる場合は t = tan θ のように置換することもある。なお本稿では、ことわりのない限り t は半角正接置換を指すものとする。
導入 冒頭でも説明したとおり、半角正接置換を施すことにより、
sin θ = 2 t 1 + t 2 , cos θ = 1 − t 2 1 + t 2 , d θ = 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t} のように変形することができる。
導出 三角関数の加法定理 と相互法則 から、
sin θ = 2 sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) sin 2 ( θ / 2 ) + cos 2 ( θ / 2 ) = 2 tan ( θ / 2 ) tan 2 ( θ / 2 ) + 1 = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \sin \theta ={\frac {2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)}{\sin ^{2}(\theta /2)+\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {2\tan(\theta /2)}{\tan ^{2}(\theta /2)+1}}={\frac {2t}{1+t^{2}}}} cos θ = cos 2 ( θ / 2 ) − sin 2 ( θ / 2 ) sin 2 ( θ / 2 ) + cos 2 ( θ / 2 ) = 1 − tan 2 ( θ / 2 ) tan 2 ( θ / 2 ) + 1 = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\cos ^{2}(\theta /2)-\sin ^{2}(\theta /2)}{\sin ^{2}(\theta /2)+\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {1-\tan ^{2}(\theta /2)}{\tan ^{2}(\theta /2)+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} また t を θ で微分 して、
d t d θ = 1 2 cos 2 ( θ / 2 ) = 1 + tan 2 ( θ / 2 ) 2 = 1 + t 2 2 {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\theta }}={\frac {1}{2\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {1+\tan ^{2}(\theta /2)}{2}}={\frac {1+t^{2}}{2}}} より、
d θ = 2 1 + t 2 d t {\displaystyle {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
幾何的解釈 半角正接置換の幾何的解釈。 半角正接置換は、幾何的に解釈することも可能である。たとえば、右図のように単位円 x 2 + y 2 = 1 を設定し、座標 (−1, 0) を通過する傾き t の直線を考える。また、この直線と単位円の交点のうち、(−1, 0) でない方を (cos θ , sin θ ) とおく。するとこのとき t = tan θ /2 であって、連立方程式:
{ x 2 + y 2 = 1 y − 0 = t ( x + 1 ) w h e r e x ≠ − 1 {\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\y-0=t\,(x+1)\end{cases}}\qquad {\rm {where}}\quad x\neq -1} が成り立つ。これを x 、y について解けば、
x = 1 − t 2 1 + t 2 , y = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}} すなわち、
cos θ = 1 − t 2 1 + t 2 , sin θ = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}} が導かれる。
例 次の積分:
I = ∫ csc x d x = ∫ d x sin x {\displaystyle I=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}} を解くことを考える。置換 t = tan x /2 を用いれば、
I = ∫ csc x d x = ∫ d x sin x = ∫ 1 + t 2 2 t 2 1 + t 2 d t t = tan x 2 = log | t | + C = log | tan x 2 | + C {\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}\\[3pt]&=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t&t=\tan {\dfrac {x}{2}}\\[3pt]&=\log |t|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\frac {x}{2}}{\biggr |}+C\end{aligned}}} のように求まる。ただし、ここで C は積分定数 である。また、この積分は t = tan x /2 と置換せずとも、u = csc x − cot x と置換することによって、
I = ∫ csc x d x = ∫ csc x ( csc x − cot x ) csc x − cot x d x = ∫ csc 2 x − cos x csc x − cot x d x = ∫ d u u u = csc x − cot x = log | u | + C = log | csc x − cot x | + C = log | tan x 2 | + C csc x − cot x = tan x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc x\,(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc ^{2}x-\cos x}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {{\rm {d}}u}{u}}&u=\csc x-\cot x\\[3pt]&=\log |u|+C\\[3pt]&=\log |\!\csc x-\cot x|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\dfrac {x}{2}}{\biggr |}+C&\csc x-\cot x=\tan {\dfrac {x}{2}}\end{aligned}}} のように求まる。
双曲線関数 三角関数と同じように、双曲線関数 でも半角置換が存在する。すなわち、
t = tanh θ 2 {\displaystyle t=\tanh {\frac {\theta }{2}}} の置換によって、
sinh θ = 2 t 1 − t 2 , cosh θ = 1 + t 2 1 − t 2 , tanh θ = 2 t 1 + t 2 , coth θ = 1 + t 2 2 t , sech θ = 1 − t 2 1 + t 2 , csch θ = 1 − t 2 2 t , and d θ = 2 1 − t 2 d t . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\quad \tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[3pt]&\coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\quad \operatorname {sech} \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \operatorname {csch} \theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[3pt]&{\text{and}}\quad {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1-t^{2}}}\,{\rm {d}}t.\end{aligned}}}
が導かれる。これにより、グーデルマン関数 およびその逆関数 の具体的な数式の導出についても応用できることが分かる。
参考文献 Courant, Richard (1937). “1.4.6. Integration of Some Other Classes of Functions §1–3”. Differential and Integral Calculus . 1 . Blackie & Son. pp. 234–237. https://archive.org/details/differentialinte0001cour/page/234 Edwards, Joseph (1921). “§1.6.193”. A Treatise on the Integral Calculus . 1 . Macmillan. pp. 187–188. https://archive.org/details/treatiseonintegr01edwauoft/page/187 Hardy, Godfrey Harold (1905). “VI. Transcendental functions”. The integration of functions of a single variable . Cambridge. pp. 42–51. https://archive.org/details/integrationoffun00hardrich/page/42 Second edition 1916, pp. 52–62 Hermite, Charles (1873). “Intégration des fonctions transcendentes [Integration of transcendental functions]”. Cours d'analyse de l'école polytechnique . 1 . Gauthier-Villars. pp. 320–380. https://archive.org/details/coursdanalysedel01hermuoft/page/320 積分法 計算法 部分積分 置換積分 逆函数の積分(英語版) 積分の順序(英語版) 三角函数置換(英語版) 部分分数分解を通じた積分(英語版) 漸化式による積分 媒介変数微分を用いた積分(英語版) オイラーの公式を用いた積分(英語版) 積分記号下の微分(英語版) 複素線積分 広義積分 確率積分 伊藤積分(英語版) ストラトノヴィッチ積分(英語版) スコロホッド積分(英語版) 数値積分 積分方程式
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