数学の線形代数学において、n次正方行列 A の余因子行列(よいんしぎょうれつ、英: adjugate matrix)あるいは古典随伴行列(こてんずいはんぎょうれつ、英: classical adjoint matrix)とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のことであり[1]、記号で
,
,
[2] などで表す。これはn次正方行列になる。
単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列(転置をしない)を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。
余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。
定義
可換環 R 上の n次正方行列 A = (ai,j) の余因子行列とは、(i, j)成分が (j, i)余因子である n次正方行列のことであり、記号で
,
[2] などで表す。
A の (i,j)小行列式を Mi,j で表すことにする。これは、A の第i行、第j列を除いてできる (n − 1)次小正方行列の行列式である:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{j,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38086dacce5473fba7492a1c9b0eb4cef822e3e)
A の (i,j)余因子を ~ai,j で表すと、
![{\displaystyle {\widetilde {a}}_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52d94778a026392ae67cdb0b76b6749d3fee2c1)
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=({\widetilde {a}}_{j,i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e372b70c94a2651b2a52f4404fa1966bec900c2a)
A を余因子展開は、A の余因子行列 ~A により、次のように表せる:
![{\displaystyle A{\widetilde {A}}={\widetilde {A}}A=(\det(A))I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901f15199e5a9f8c3c0860565c4f86773bd68c87)
ここで I は単位行列である。
A が特に正則行列のとき、A の逆行列は余因子行列 ~A で表せる:
![{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\widetilde {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92104c4dbcf5430c77aa65fcf8e61bac3cbf212)
例
1次
1次正方行列 A = (a) の余因子行列は、A が零行列でないときは、1次単位行列
![{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18595d9b7a96363e7a8fa00157461d53489db3e)
である。
は慣習上 0 とする。
2次
2次正方行列
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69fc0502c8f960b4cd20db0ea2a2acd263b6137)
の余因子行列は
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50818691e15409556f0af93e511e6f8901defaa0)
なお、この 2次の場合は
が成り立つ。
3次
3次正方行列
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04e30ad77ff40264f8c9183a9c77886de752aa5)
の余因子行列を考える。(i, j)成分に (i, j)余因子を並べたものは、
![{\displaystyle C={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc33244f1d686bf729155492734dd4002e3f4853)
ここで
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}=\det {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2230700c9e5149e15a1159b431e82155448b0ccb)
である。余因子行列はこれの転置行列であるから、
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=C^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f80b2413573912fcb85095b845533b51c4ba6d7)
数値計算
例えば、実3次正方行列
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beab354fa11c6ae83dfe599a7e20c636b4db77fc)
の余因子行列は、
![{\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24d7ecba434da1b5d3627a917731b945f817547)
となる。実際、余因子行列の (2,3)成分は (3,2)余因子であり、それは (3,2)小行列式(第3行、第2列を除いた小行列の行列式)に符号を掛けたものに等しい:
![{\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a445c851432dd6550f42128bf67bd549bc220b)
性質
A を n次正方行列とする。
(O は零正方行列)
(I は単位行列)
(c はスカラー)
(T は転置を表す) ![{\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6831daecd8ad9565fbd723764af13170856d58ae)
- A が正則なら、
- これから次が導かれる:
- adj(A) は正則で、その逆行列は(det A)−1A
- adj(A−1) = adj(A)−1.
- adj(A) の各成分は A の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、adj(A) の各成分は、A の成分の滑らかな関数である。
複素数体上では、
( は複素共役を表す)
(* は随伴行列を表す)
B をもう1つの n次正方行列とする。
![{\displaystyle \operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\operatorname {adj} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051774eba6da997415ccb04916085a2bbcb6b2e3)
この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 A, B に余因子展開の等式を利用する方法である:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\det AB){\widetilde {AB}}&=(\det A)I\times (\det B)I\times {\widetilde {AB}}\\&=(\det A)I\times {\widetilde {B}}B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times (\det A)I\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times {\widetilde {A}}A\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times (AB){\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times \det(AB)I\\&=\det(AB){\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b58298914d4b7e584b713965240b2854da5d877)
両辺を多項式として det AB で割ると ~AB = ~B~A を得る。(証明終)
これより、行列の冪乗について次が成り立つ:
(k は 0 以上の整数) - A が正則なら、この等式は k が負の整数の場合についても成り立つ。
![{\displaystyle A\operatorname {adj} (A+B)B=B\operatorname {adj} (A+B)A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483b8570ea1f1b3cb4c5c8452ae442baa279bfa6)
- 等式
![{\displaystyle (A+B)\operatorname {adj} (A+B)B=\det(A+B)B=B\{\operatorname {adj} (A+B)\}(A+B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d4a34bc7f8c969efe268bab748c6a4ffb1c808)
- から導かれる。
- rk(A) ≤ n − 2 のとき、adj(A) = O
- rk(A) = n − 1 のとき、rk(adj(A)) = 1
- (A のある小行列式は 0 でない、故に adj(A) は 0 でなく、したがって、階数は 1 以上である。等式 adj(A) A = 0 は、adj(A) の核の次元は n − 1 以上であることを意味する。故に、adj(A) の階数は 1 以下である。)
- このとき、adj(A) は次のように表せる:
- adj(A) = xyT(x, y は
かつ
を満たすベクトルである)
列の置き換えとクラメルの公式
A の列ベクトル表示を
![{\displaystyle A=({\boldsymbol {a}}_{1}\ \cdots \ {\boldsymbol {a}}_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcc094ec824ce313b0da7a2fe85f9510f60e054)
とし、b を n次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ j ≤ n に対し、A の第 j列を b で置き換えた行列を次の記号で定義する:
![{\displaystyle (A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{j-1}&{\boldsymbol {b}}&{\boldsymbol {a}}_{j+1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de30d91a3d62e8fa803a8ab7fa3afa1daf06ce63)
この行列の行列式を第j列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj(A)b に等しくなる:
![{\displaystyle \left(\det(A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\right)_{j=1}^{n}=\operatorname {adj} (A){\boldsymbol {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f61ad873bb53426bb4855f9a17b23d9842ab8be)
この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系
![{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3387b7c60dfd161b82d16b3b515c2aa4d5f74e4f)
を考える。A を正則と仮定する。この方程式に左から adj(A) を掛け、det(A) (≠ 0) で割ると
![{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {1}{\det A}}(\operatorname {adj} A){\boldsymbol {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64959c656cb3116ef8d49b62dff79cb6d214a32)
ここでクラメルの公式を適用すると、
![{\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A{\stackrel {i}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})}{\det A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d6baad0e24ecedfc6d3b46105c2e2186965750)
ここで xi は x の第i成分である。
固有多項式
A の固有多項式を
![{\displaystyle p(s)=\det(sI-A)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1042eec03a4a2d1d023efbd47e9775685169747b)
とすると、 p の第一差商は、n − 1次対称式になる:
![{\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\textstyle \sum \limits _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436f01b678e0d5bba43fdf4ca02d8fb1fbd511f3)
sI − A の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 p(A) = O より、
![{\displaystyle \operatorname {adj} (sI-A)=\Delta p(sI,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316bb8798e5692d77ad9f51afce6999db61a2274)
特に、A の レゾルベントは次の式で定義される:
![{\displaystyle R(z;A)=(zI-A)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73f7b707fbcb0712b8d5ea9130b3358b4203be7)
さらに上記の等式より、これは次の式に等しい:
![{\displaystyle R(z;A)={\frac {\Delta p(zI,A)}{p(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca297c7c2630d74ea776c4883eb10bd4b6f51446)
ヤコビの公式
行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。A(t) は連続的微分可能なら、
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\det A(t))=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))A'(t)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed87df2410c156f45b1c5838e94d67b058fa74ce)
これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる:
![{\displaystyle d(\det A)_{A_{0}}=\operatorname {adj} (A_{0})^{\mathsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb778c16a263412ff745452ae0db448862c6311)
ケイリー・ハミルトンの定理
pA(t) を線形変換 A の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t を A に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう:
![{\displaystyle p_{A}(A)=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acd709d9bb6c7729527d9a59d97ad9ba6e2cd6e)
定数項を分離し両辺に adj(A) を掛けることで、余因子行列は A と pA(t) の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\textstyle \sum \limits _{s=0}^{n-1}A^{s}\sum \limits _{k_{1},\cdots ,k_{n-1}}\prod \limits _{\ell =1}^{n-1}{\dfrac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (A^{\ell })^{k_{\ell }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ad749f30f8e9f084f8292b2685fd8e5a8d3631)
ここで n は A の次数、総和 ∑ の s, 数列 kl ≥ 0 は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする:
![{\displaystyle s+\textstyle \sum \limits _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72de6551e4176a1e2fb96747f8cfb6b5b8184e0c)
特に 2次の場合は、次のようになる:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=I_{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133ca0f3b1bf64a7492bdc3476f71ad507b5319a)
3次の場合は
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{2}}I_{3}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)-A\left(\operatorname {tr} A\right)+A^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e602c4356d06bb1c80decdb16f0b2f84b97eae)
4次の場合は
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{6}}I_{4}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)-{\frac {1}{2}}A\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)+A^{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8e5f4272c69521ad9b2ac11fa8500719b2489f)
上記の表示式は、A の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。
外積代数との関係
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。V を n次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる:
![{\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b96e199ea0c37539ceed8206a13ace26cb2e334)
ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす:
![{\displaystyle \phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4858f8df56cd93116059eea80d73f17f443973)
明示すると、この対は、v ∈ V を
に写す:
![{\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}(\alpha )={\boldsymbol {v}}\wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge ^{n-1}V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52eec7f7003209ff0c633e069a6b5dfde3db1a28)
T : V → V を線形変換とする。T の(n − 1)次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき T の余因子変換は次の合成で定義される:
![{\displaystyle V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d9f655e27dbad9265527583f11c7321aeaa8b5)
V = Rn に 基底 (e1, …, en) が与えられていて、T のこの基底に関する表現行列は A であるとき、T の余因子変換は A の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、
の基底を取る:
![{\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\}_{k=1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1bd2ed1b02252926aa68718e6c98b19ead7fc8e)
Rn の基底元 ei を固定する。ei の
による像は、
の基底ベクトルの移る先を決定する:
![{\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536bf7bddacad2102a55d162b9e5a927eccf31c7)
この基底で、T の (n − 1)次外冪
は次のように表せる:
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\,{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944c311832f7d0bf0883e2a007c48d3293d922f1)
これらのそれぞれの項の
による像は、k = i の項を除いて 0 になる。それ故、
の引き戻しは次の線形写像になる:
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0a2543e8c3fb0e72cd0a5810863fa3c6e84607)
これは次に等しくなる:
![{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{{\boldsymbol {e}}_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10278ee766cc8bf2aa5a5bfb5a40c3f65a5f6fa1)
の逆写像を適用することより、T の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる:
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\mapsto \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e8c6deefe0b502dbc1106b2e417ebbe18caa9c)
故に、その表現行列は A の余因子行列である。
V に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 φ はさらに分解される。この場合、φ はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす:
![{\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cfbb4549a749386fe1df5d5660b18e66808049)
これは同型写像を引き起こす:
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbb {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a41c0794581f59c0867bf0cb9c26acb344d06af)
v ∈ Rn は次の線型汎函数に一致する:
![{\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ab7e807d37426d6578ee8499d7d57d8e3e29db)
ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v と双対である。つまり、ω∨ ∘ φ は v ↦ *v∨ と見なせる。
高階余因子行列
A を n次正方行列とし、r ≥ 0 を固定する。A の r階余因子行列とは、
次正方行列であり、adjr A で表す。その成分は {1, …, m} の r 個元からなる部分集合 I, J から番号を取るものとする。Ic, Jc はそれぞれ I, J の補集合を表すものとする。
は、行番号、列番号がそれぞれ Ic, Jc から取られる、A の小行列を表すとする。adjr A の (I, J) 成分は次の式で定義される:
![{\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf3ccbbd49bbc140ec83536c0abcffafa7d46db)
ここで σ(I), σ(J) はそれぞれ I, J の元の総和を表すとする。
高階余因子行列の基本的な性質として以下がある:
- adj0(A) = det A
- adj1(A) = adj A
- adjn(A) = 1
- adjr(BA) = adjr(A) adjr(B)
(Cr(A) は r次複合行列を表す)
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。
,
をそれぞれ
,
に置き換えることでできる。
余因子行列の反復合成
正則行列 A について、余因子行列の反復合成を取ることにより、r次余因子行列を考えることができる:
![{\displaystyle \underbrace {\operatorname {adj} \cdots \operatorname {adj} } _{k}\,A=(\det A)^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}A^{(-1)^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38f99c449b0bb7de136f85b6208b4bd141f6d91)
![{\displaystyle \det(\underbrace {\operatorname {adj} \cdots \operatorname {adj} } _{k}\,A)=(\det A)^{(n-1)^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4170d8827aa31a66ccebf4ea8c4409c45ff54617)
例えば、
![{\displaystyle \operatorname {adj} \operatorname {adj} A=(\det A)^{n-2}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91ead1bf36a5b080d2cdcf3b704736555bf44dd)
![{\displaystyle \det(\operatorname {adj} \operatorname {adj} A)=(\det A)^{(n-1)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a62161e220b43c65d8b3c921b91ae3af8207dee)
関連項目
参照
- ^ Felix Gantmacher (1960). The Theory of Matrices. 1. New York: Chelsea. pp. 76-89. ISBN 0-8218-1376-5. https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76
- ^ a b 斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年3月31日。ISBN 978-4130620017。
参考文献
外部リンク
- Matrix Reference Manual
- Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) - © Rene Vapenik 2008 Compute Adjugate matrix up to order 8
- adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } - Wolfram|Alpha