区間（0,2）での自然対数に対する一次、二次、三次および十次多項式近似 数学 において、メルカトル級数 （英語 : Mercator series ）あるいはニュートン＝メルカトル級数 （英語 : Newton-Mercator series ）とは、自然対数 に対するテイラー級数 であり、以下の式で表される。
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots } 総和 記法を用いると、
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}} となる。
この級数は −1 < x ≤ 1 の範囲で（1平行移動した）自然対数に収束する。
歴史 この級数はヨハネス・フッデ（英語版） [1] アイザック・ニュートン の2人によってそれぞれ独立に発見された。ニコラス・メルカトル の著作『対数術』（1668年 ）によって最初に発表された。
導出 この級数はテイラーの定理 によって、ln(x ) の x = 1
d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} からはじめて帰納的 に計算することで得られる。
もしくは、有限等比級数（t ≠ −1
1 − t + t 2 − ⋯ + ( − t ) n − 1 = 1 − ( − t ) n 1 + t {\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}} より、
1 1 + t = 1 − t + t 2 − ⋯ + ( − t ) n − 1 + ( − t ) n 1 + t {\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}} を得る。このとき、
∫ 0 x d t 1 + t = ∫ 0 x ( 1 − t + t 2 − ⋯ + ( − t ) n − 1 + ( − t ) n 1 + t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt} であるから、項別積分によって
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ( − 1 ) n ∫ 0 x t n 1 + t d t {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt} が得られる。
もし −1 < x ≤ 1 なら、剰余項は n → ∞
この式を更に k 回繰り返し積分することで
− x A k ( x ) + B k ( x ) ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n + k n ( n + 1 ) ⋯ ( n + k ) {\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}}} を得られる。ここで
A k ( x ) = 1 k ! ∑ m = 0 k ( k m ) x m ∑ l = 1 k − m ( − x ) l − 1 l {\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}} および
B k ( x ) = 1 k ! ( 1 + x ) k {\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}} は x の多項式である[2]
特殊例 メルカトル級数で、x = 1交代調和級数
∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k = ln ( 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2)} を得る。
複素級数 複素 冪級数
∑ n = 1 ∞ z n n = z + z 2 2 + z 3 3 + z 4 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots } は log を複素対数 の主値とした際の −log(1−z ) に対するテイラー級数 である。この級数は |z | ≤ 1, z ≠ 1 を満たす全ての複素数に対して収束する。実際、ダランベールの収束判定法 から、収束半径 が1に等しいと分かるから、半径 r < 1 の全ての円板 B (0, r ) 上で絶対収束 する。更に、欠けた円板（nibbled disk） B ( 0 , 1 ) ¯ ∖ B ( 1 , δ ) {\displaystyle \scriptstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )} δ > 0一様収束 する。このことは右辺が閉単位円板 上全体で一様収束することに注目すれば、代数恒等式
( 1 − z ) ∑ n = 1 m z n n = z − ∑ n = 2 m z n n ( n − 1 ) − z m + 1 m {\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}}} から一度に導かれる。
関連項目 参考文献 ^ Vermij, Rienk; (2012) Bio-bibliography for Johannes Hudde from Utrecht University ^ Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. (2009). “Iterated primitives of logarithmic powers”. International Journal of Number Theory 7 : 623–634. arXiv:0911.1325. doi:10.1142/S179304211100423X. Weisstein, Eric W. "Mercator Series". mathworld.wolfram.com (英語). Anton von Braunmühl (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, Seite 134, via Internet Archive Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar , part 3. Gothenburg 2002. p. 10. Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball
