シャピロの不等式

数学におけるシャピロの不等式（シャピロのふとうしき、英: Shapiro inequality）、またはシャピロの巡回不等式とは、ハロルド・S・シャピロ（英語版）によって1954年に提案された不等式である。

${\displaystyle n}$ を自然数、 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ を非負の実数で、

${\displaystyle x_{i}+x_{i+1}>0\quad (i=1,2,\dots ,n)}$

であるとする。ただし、 ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$ とする。このとき、

• ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle 12}$ 以下の偶数
• ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle 23}$ 以下の奇数

のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$

より大きな ${\displaystyle n}$ に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 ${\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}$ が存在する。ここで ${\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots }$ 。

重要なケース ${\displaystyle n=12}$ の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の ${\displaystyle n=23}$ の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は ${\displaystyle n=12}$ のときの解析的な証明を発表した。

${\displaystyle \gamma }$ の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる ${\displaystyle \gamma }$ が ${\displaystyle \psi (0)}$ で与えられることを示した。ここで ${\displaystyle \psi }$ は関数 ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ と ${\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}}$ の関数的凸包である。(つまり、 ${\displaystyle \psi }$ のグラフの上側の部分は、 ${\displaystyle f}$ と ${\displaystyle g}$ のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。

左辺の、内部での極小値は常に ${\displaystyle \geq {\frac {n}{2}}}$ となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。

最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 ${\displaystyle n=20}$ に対するものである：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{20}=(&1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ \\&1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )\end{aligned}}}$

（ここで ${\displaystyle \epsilon }$ は 0 に極めて近いとする。）

このとき不等式の左辺は ${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$ となり、 ${\displaystyle \epsilon }$ が十分小さければ 10 より小さくなる。

次の反例は ${\displaystyle n=14}$ に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：

${\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$

また、 ${\displaystyle n=25}$ に対して次の反例がある：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{25}=(&32,0,37,0,43,0,50,0,59,8,62,21,55,\\&29,44,32,33,31,24,30,16,29,10,29,4)\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}=1\geq {\frac {2}{2}}}$

より自明である。

• ${\displaystyle n=3}$

この場合をネスビットの不等式といい、様々な証明が知られている。

正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、

${\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geq 2{\sqrt {a\cdot {\frac {1}{a}}}}=2}$

よって、${\displaystyle S_{3}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}}$ とおくと

${\displaystyle {\begin{aligned}2S_{3}&={\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}\\&+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}-3\\&\geq 2+2+2-3=3\end{aligned}}}$

ゆえに ${\displaystyle S_{3}\geq {\frac {3}{2}}}$ 。

• ${\displaystyle n=4}$

正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\geq {\frac {4}{a+b}}}$

また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、

${\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {d}{c}}+{\frac {a}{d}}\geq 4{\sqrt[{4}]{{\frac {b}{a}}{\frac {c}{b}}{\frac {d}{c}}{\frac {a}{d}}}}=4}$

ここで ${\displaystyle S_{4}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}}$ とおくと

${\displaystyle {\begin{aligned}2S_{4}&={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&\geq 4+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\\&=(x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)\\&\geq {\frac {4(x_{1}+x_{3})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}+{\frac {4(x_{2}+x_{4})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\\&=4\end{aligned}}}$

ゆえに ${\displaystyle S_{4}\geq {\frac {4}{2}}}$ 。

• Fink, A.M. (1998). “Shapiro's inequality”. In Gradimir V. Milovanović, G. V.. Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović. Mathematics and its Applications (Dordrecht). 430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.. pp. 241–248. ISBN 0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001 
• Bushell, P.J.; McLeod, J.B. (2002). “Shapiro's cyclic inequality for even n”. J. Inequal. Appl. 7 (3): 331–348. ISSN 1029-242X. Zbl 1018.26010. ftp://ftp.sam.math.ethz.ch/EMIS/journals/HOA/JIA/40a3.pdf.  They give an analytic proof of the formula for even ${\displaystyle n\leq 12}$, from which the result for all ${\displaystyle n\leq 12}$ follows. They state ${\displaystyle n=23}$ as an open problem.

• Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)