Zero-insieme

In matematica, uno zero-insieme di una funzione è l'insieme formato dai punti in cui la funzione assume valore nullo. Più precisamente, data una funzione ${\displaystyle f:X\rightarrow G}$, dove ${\displaystyle G}$ è un gruppo additivo, lo zero insieme di ${\displaystyle f}$ è la controimmagine dell'elemento neutro:

${\displaystyle Z(f)=f^{-1}(0)\subseteq X}$

I punti dello zero insieme corrispondono alle radici dell'equazione ${\displaystyle f(x)=0}$; l'insieme complementare di uno zero insieme è detto cozero-insieme, e corrisponde ai punti in cui la funzione assume valore non nullo. Gli zero insiemi sono utilizzati in molti settori della geometria e della topologia; a seconda dell'ambito di applicazione, vengono considerati in relazione a diversi tipi di funzione.

Solitamente l'insieme zero di una trasformazione lineare è detto nucleo.

In topologia vengono considerati gli zero insiemi delle funzioni continue, che possiedono alcune importanti caratteristiche: in particolare, gli zero insiemi sono sempre insiemi chiusi, mentre in generale non vale il viceversa; tramite gli zero insiemi è possibile caratterizzare i seguenti assiomi di separazione:

• uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è completamente regolare se e solo se ogni suo insieme chiuso è l'intersezione di una famiglia di zero insiemi ovvero se e solo se i cozero insiemi formano una base di ${\displaystyle X}$;
• uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è completamente normale se e solo se ogni insieme chiuso è uno zero insieme, ovvero se e solo se ogni insieme aperto è un cozero insieme.

In geometria differenziale si considerano gli zero insiemi di funzioni lisce ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} ^{n}}$; se zero non è un punto critico della funzione, allora lo zero insieme di ${\displaystyle f}$ definisce una varietà di dimensione ${\displaystyle n-p}$.

In geometria algebrica, lo zero insieme di una famiglia di polinomi è una varietà affine, mentre la proiettivizzazione degli zero insiemi di una famiglia di polinomi omogenei è una varietà proiettiva.

• (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 268, 1999.

• Controimmagine
• Elemento neutro
• Nucleo (matematica)
• Zero

• (EN) Eric W. Weisstein, Zero-insieme, su MathWorld, Wolfram Research.
• P. M. Gandini, S. Bianco - Appunti di topologia (PDF), su unito.it. URL consultato il 19 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 19 ottobre 2014).
• Filippo Maria Bonci, Giovanni Mecozzi - Misure invarianti su gruppi topologici localmente compatti: esistenza e unicità della misura di Haar (PDF), su mat.uniroma3.it.

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