Punto singolare di una curva

In geometria, un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia. La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti ${\displaystyle (x,y)}$ del piano che soddisfano una equazione nella forma ${\displaystyle f(x,y)=0}$ dove ${\displaystyle f}$ è una funzione polinomiale ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x,y)=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots }$

Se l'origine ${\displaystyle (0,0)}$ appartiene alla curva allora ${\displaystyle a_{0}=0}$. Se ${\displaystyle b_{1}\neq 0}$ allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia ${\displaystyle h}$ tale che la curva ha la forma ${\displaystyle y=h(x)}$ in un intorno dell'origine. Analogamente, se ${\displaystyle b_{0}\neq 0}$ allora esiste una funzione liscia ${\displaystyle k}$ tale che la curva ha la forma ${\displaystyle x=k(y)}$ in un intorno dell'origine. In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell'origine. Nell'origine si ha che

${\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},}$

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell'origine se almeno una delle derivate parziali di ${\displaystyle f}$ è non nulla. I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}$.

Assumendo che la curva passi per l'origine e ponendo ${\displaystyle y=mx}$, ${\displaystyle f}$ può essere scritta come

${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,}$

Se ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}\neq 0}$ allora ${\displaystyle f=0}$ ha una soluzione di molteplicità ${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle x=0}$ e l'origine è un punto di contatto di ordine ${\displaystyle 1}$ con la retta ${\displaystyle y=mx}$.

Se ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ allora ${\displaystyle f=0}$ ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a ${\displaystyle 2}$ e la retta ${\displaystyle y=mx}$ ovvero ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0}$ è tangente alla curva. In tale caso, se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}\neq 0}$ allora la curva ha un punto di contatto di ordine ${\displaystyle 2}$ con ${\displaystyle y=mx}$.

Se il coefficiente di ${\displaystyle x^{2}}$ è nullo ovvero se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ ma non è nullo il coefficiente di ${\displaystyle x^{3}}$ allora l'origine è un punto di flesso della curva. Se entrambi i coefficienti di ${\displaystyle x^{2}}$ e ${\displaystyle x^{3}}$ sono nulli allora l'origine è un punto di ondulazione.^[1] Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell'origine.^[2]

Se ${\displaystyle b_{0}}$ e ${\displaystyle b_{1}}$ sono entrambi nulli ma almeno uno tra ${\displaystyle c_{0}}$, ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ è non nullo allora l'origine è un punto doppio per la curva. Ponendo ${\displaystyle y=mx}$ , ${\displaystyle f}$ può essere scritta come

${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,}$

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$.

Se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ ha due soluzioni reali rispetto a ${\displaystyle m}$, ovvero se ${\displaystyle c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}<0}$ allora l'origine è un nodo per la curva. In tale caso la curva ha un'autointersezione nell'origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$. La funzione ${\displaystyle f}$ ha un punto di sella in corrispondenza.

Se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ non ha soluzioni reali rispetto a ${\displaystyle m}$, ovvero se ${\displaystyle c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}>0}$, allora l'origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato). Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l'origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$. La funzione ${\displaystyle f}$ ha un estremo locale in corrispondenza.

Se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ ha una soluzione di molteplicità ${\displaystyle 2}$ rispetto a ${\displaystyle m}$, ovvero ${\displaystyle c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}=0}$, allora l'origine è un punto di cuspide. La curva cambia direzione con un angolo netto nell'origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.

Se una delle soluzioni di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ è anche soluzione di ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0}$ allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell'origine, che in questo caso è un punto di flencnodo.^[3] Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ è un fattore di ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0}$, allora l'origine è un biflecnodo.^[4]

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a ${\displaystyle k}$ sono nulli, almeno un termine di grado ${\displaystyle k}$ è non nullo in ${\displaystyle f}$ e la curva ha un punto multiplo di ordine ${\displaystyle k}$. La curva avrà, in generale, ${\displaystyle k}$ tangenti nell'origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.^[5]

Una curva parametrica in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ è definita come l'immagine di una funzione ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\ g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t))}$. I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di ${\displaystyle g}$, ovvero

${\displaystyle {dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.}$

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi. La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell'origine, e può essere definita implicitamente come ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$ o in forma parametrica come ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3})}$. Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$, l'origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t^{3}-t)}$, si ha che ${\displaystyle g'(t)=(2t,3t^{2}-1)}$ non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione: ad esempio la retta ${\displaystyle y=0}$ parametrizzata da ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0)}$ ha una singolarità nell'origine, mentre quando è parametrizzata da ${\displaystyle g(t)=(t,0)}$ non ha singolarità. Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è l'insieme degli zeri ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ di una opportuna funzione liscia ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$.^[6][7]

• (EN) Harold Hilton, Chapter II: Singular Points, in Plane Algebraic Curves, Oxford, 1920.

• Teoria di Morse
• Teoria delle singolarità
• Curva (matematica)
• Curva piana
• Curva nello spazio
• Cuspide (matematica)
• Punto angoloso

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