In matematica, il principio del massimo di Hopf è un principio del massimo utilizzato nello studio di equazioni alle derivate parziali ellittiche.
Enunciato
Sia
, con
, una funzione di classe
che soddisfa l'equazione differenziale alle derivate parziali:
![{\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a183a37e112ecc89c96896c293bdfa460b2a78)
in un aperto connesso di
, dove la matrice simmetrica dei coefficienti
è localmente definita positiva in
e sia le funzioni
che le funzioni
sono localmente limitate. Se
ha un massimo
in
, allora è costantemente uguale a
in
.[1]
Funzioni armoniche
Lo stesso argomento in dettaglio: Lemma di Hopf. Data una funzione armonica
definita sulla chiusura di una palla
centrata nell'origine e di raggio
ed un punto
sulla frontiera
di
, se
è un massimo assoluto per
, ovvero:
![{\displaystyle f(x_{0})>f(y)\quad \forall y\neq x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80679fcb11ab74555890cc495782837993a8c603)
allora:
![{\displaystyle {{\partial f} \over {\partial {\vec {n}}}}(x_{0})>{{k} \over {r}}(f(x_{0})-f(0))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d25c5b2519de53b862b0bfec4373f0f13542509)
per qualche costante
, con
un versore che da
entra perpendicolarmente in
.
Note
- ^ Patrizia Pucci, James Serrin - The Strong Maximum Principle Revisited Archiviato il 16 agosto 2016 in Internet Archive.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Lecture Three: The Hopf Maximum Principle (PDF), su ocw.mit.edu.
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