L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.
Definizione
Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:
dove è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:
In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:
ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:
scritto nella base delle coordinate.
Le rotazioni
In meccanica classica una rotazione di un angolo , intorno ad un asse (per esempio ) è descritta da una matrice ortogonale:
analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:
La matrice è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè
- .
Le rotazioni infinitesime
Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo su ognuno dei tre assi:
per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni :
e
Vediamo il commutatore di queste due quantità:
Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.
Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazio
Se è l'operatore di rotazione intorno all'asse e lo applichiamo ad una funzione d'onda otteniamo:
Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse :
in definitiva:
Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse del momento angolare, per cui l'operatore è il generatore della rotazione intorno all'asse . Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di rotazioni infinitesime: , allora:
dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite di questa espressione:
A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse , vi è una quantità conservata pari a
- .
Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è
e si ha che
perciò:
Le proprietà del momento angolare
In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione
deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè :
inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:
Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:
Proprietà di commutazione
Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica). Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:
dove i commutatori fra le componenti di e risultano tutti nulli, eccetto nel caso con .
Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:
Si può costruire l'operatore , cioè l'operatore:
Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:
e analogamente:
cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore .
Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.
Allo stesso modo e , in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:
dove e è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a per permutazioni pari degli indici, per permutazioni dispari e se due indici sono uguali.
Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:
Spettro del momento angolare
Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica). Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità . Le equazioni agli autovalori sono:
dal momento che commuta con , essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati e coincidono, e vengono indicati con .
Bisogna trovare quali sono gli autovalori , , a volte indicati con , , oppure con ) simultanei di questi operatori:
Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala o operatori scaletta:
che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:
L'operatore può essere espresso in termini di e operatori di scala:
Per vedere quale sia il significato di , vediamo come agisce sullo stato :
cioè applicando , l'autovalore di aumenta di , viceversa applicando , l'autovalore di viene diminuito di , da cui il nome di operatori di scala. Invece:
cioè l'applicazione degli operatori cambiano gli autovalori di , ma non di .
Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ed è:
ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di : fisicamente ciò significa che assume il suo valore massimo quando coincide con la direzione dell'asse , così la sua proiezione coincide con , in tal caso . Quindi l'autovalore di è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere .
Siano il valore minimo e il valore massimo che può assumere . Applicando successivamente gli operatori di scala , si capisce che deve essere:
Ora applichiamo
cioè:
Quindi l'autovalore di è , dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:
e anche qui deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di sono distanti uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di ), dove se è un intero, fissato , vi sono valori di , cioè per cui se è intero lo è anche e se è semintero, lo è anche . Si può dimostrare che gli autovalori sono interi e quindi anche sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di e :
dove è il numero quantico orbitale ed è il numero quantico magnetico.
Autofunzioni del momento angolare
Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo . La sua rappresentazione spaziale è:
Mentre quella lungo è:
Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale e della sua componente lungo sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:
le armoniche sferiche sono pertanto
Bibliografia
- Jun John Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, 1996, ISBN 88-08-12706-0.
- Lev Landau e Evgenij Lifšic, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5606-4.
Voci correlate
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