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In matematica, i numeri di Stirling sono delle quantità che si incontrano in vari campi della combinatoria. Prendono il loro nome dal matematico James Stirling.
Indice
1Prima specie
1.1Tavola di valori
2Formula esplicita
3Seconda specie
3.1Tavola di valori
4Relazioni
5Bibliografia
6Voci correlate
Prima specie
I numeri di Stirling di prima specie (s minuscola) sono definiti come i coefficienti dello sviluppo polinomiale del fattoriale decrescente di x con n fattori:
I numeri di Stirling di prima specie senza segno sono definiti invece da
e rappresentano il numero di possibili permutazioni di n elementi in k cicli disgiunti.
Sono talvolta scritti con la notazione alternativa .
Tavola di valori
n \ k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
0
1
2
0
−1
1
3
0
2
−3
1
4
0
−6
11
−6
1
5
0
24
−50
35
−10
1
6
0
−120
274
−225
85
−15
1
7
0
720
−1764
1624
−735
175
−21
1
8
0
−5040
13068
−13132
6769
−1960
322
−28
1
9
0
40320
−109584
118124
−67284
22449
−4536
546
−36
1
Formula esplicita
Sorgente: André F. Labossière, 2006-03-27, A008275 ( OEIS - The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences )
Seconda specie
I numeri di Stirling di seconda specie (S maiuscola) sono definiti come il numero di possibili k-partizioni (cioè partizioni fatte da k insiemi) di un insieme di cardinalità n. Valgono le relazioni:
e
L'immagine mostra un esempio di funzione suriettiva tra due insiemi: il primo di cardinalità n=8 e il secondo di cardinalità k=3. La funzione è stata costruita partizionando in 3 blocchi l'insieme di 8 ed associando ad ogni blocco uno dei 3 elementi del secondo insieme.
dove Bn è l'n-esimo numero di Bell.
Inoltre, è possibile ricavare una formula esplicita per calcolare numeri di Stirling di seconda specie. Si può infatti osservare che il numero di funzioni suriettive da un insieme di cardinalità n ad uno di cardinalità k può essere individuato partizionando il dominio (di cardinalità n) in k blocchi e associando ad ognuno di questi blocchi uno dei k elementi del codominio (e ciò si può fare in k! modi). Così si ricava la formula:
Sono talvolta scritti in notazione alternativa come o . Come per la prima specie, l'idea di usare parentesi, in analogia con il coefficiente binomiale, è venuta per la prima volta a Jovan Karamata nel 1935 ed è stata supportata poi da Donald Knuth; è per questo nota come "notazione Karamata".
Tavola di valori
n \ k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
0
1
2
0
1
1
3
0
1
3
1
4
0
1
7
6
1
5
0
1
15
25
10
1
6
0
1
31
90
65
15
1
7
0
1
63
301
350
140
21
1
8
0
1
127
966
1701
1050
266
28
1
9
0
1
255
3025
7770
6951
2646
462
36
1
Relazioni
I numeri di prima e seconda specie sono legati dalle relazioni
e
dove è il delta di Kronecker. Queste relazioni possono essere interpretate come segue: la matrice è l'inversa della matrice , e analogamente la matrice è l'inversa della matrice .
Abramowitz e Stegun inoltre hanno dato le seguenti formule che legano tra loro i due tipi di numeri:
e
.
Bibliografia
(EN) Rosen Kenneth H., Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Boca Raton, CRC Press, 2018, ISBN 978-1-5848-8780-5.
(EN) Mansour Toufik; Schork Mathias, Commutation Relations, Normal Ordering, and Stirling Numbers, Boca Raton, CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-7989-7.