Lemma di Artin-Rees
In matematica, il lemma di Artin-Rees (o teorema di Artin-Rees) è un teorema della teoria dei moduli su anelli noetheriani. Prende nome da Emil Artin e David Rees, che lo dimostrarono indipendentemente negli anni cinquanta.
Enunciato
Sia un anello commutativo unitario noetheriano, un ideale di , un -modulo finitamente generato, una -filtrazione stabile di (ovvero una successione di sottomoduli di tale che ), un sottomodulo di . Allora:
- è una -filtrazione stabile di .
- Esiste un tale che per ogni
In particolare, le successioni e hanno differenza limitata, ovvero esiste un tale che e .
Conseguenze
La prima conseguenza del lemma di Artin-Rees è che, se è un modulo finitamente generato e un suo sottomodulo, allora la topologia -adica su coincide con la topologia di sottospazio indotta dalla topologia -adica su . Da questo segue che il completamento preserva le successioni esatte di moduli finitamente generati, ovvero che il completamento è un funtore esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.
Il lemma di Artin-Rees, inoltre, può essere usato per dimostrare il teorema dell'intersezione di Krull.
Bibliografia
- (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
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