In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, un insieme
si dice transitivo se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:
- se
e
, allora
. - se
e
non è un Ur-elemento, allora
è un sottoinsieme di
.
Allo stesso modo, una classe
è detta transitiva se ogni elemento di
è un sottoinsieme di
.
Esempi
Un insieme è detto numero ordinale se è transitivo e totalmente ordinato dall'appartenenza. La classe di tutti gli ordinali è una classe transitiva.
Uno qualsiasi dei livelli
e
che portano alla costruzione dell'universo di von Neumann
e dell'universo costruibile di Gödel
sono insiemi transitivi. Gli universi
e
sono essi stessi classi transitive.
Quello che segue è un elenco completo di tutti gli insiemi transitivi finiti con un massimo di 20 parentesi: [1]
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Proprietà
Un insieme
è transitivo se e solo se
, dove
è l'unione di tutti gli elementi di
che sono insiemi,
.
Se
è transitivo, anche
è transitivo.
Se
e
sono transitivi,
e
sono transitivi. In generale, se
è una classe i cui elementi sono insiemi transitivi, allora
e
sono transitivi. (La prima affermazione di questo paragrafo si ottiene nel caso di
.)
Un insieme
che non contiene Ur-elementi è transitivo se e solo se è un sottoinsieme del proprio insieme potenza,
L'insieme potenza di un insieme transitivo senza Ur-elementi è transitivo.
Chiusura transitiva
La chiusura transitiva
di un insieme
è il più piccolo insieme transitivo che contiene
come sottoinsieme,
.[2] Dato l'insieme
, la sua chiusura transitiva risulta essere
Infatti, denotando
e
, vogliamo mostrare che l'insieme
è transitivo e che per ogni
insieme transitivo che contiene
come sottoinsieme, si abbia
.
Mostriamo che
è transitivo. Siano
. Ma allora esiste
tale che
e pertanto
. Poiché
, si ha
e
è transitivo.
Sia ora
come sopra. Mostriamo per induzione che
per ogni
e dunque che
. Il caso base vale essendo per ipotesi
. Ora supponiamo
. Allora
. Ma
è transitivo, quindi
e dunque
. Questo completa la dimostrazione.
Modelli transitivi della teoria degli insiemi
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Note
- ^ OEIS, https://oeis.org/A004111 Titolo mancante per url
url
(aiuto). - ^ Krzysztof Ciesielski, Set theory for the working mathematician, Cambridge University Press, 1997, p. 164, ISBN 978-1-139-17313-1, OCLC 817922080.