L'identità di Pohozaev, o teorema di Pohozaev, è un importante risultato di analisi matematica impiegato nello studio delle equazioni ellittiche semilineari e non lineari. Esso, tramite un'identità, mette in relazione il comportamento di una soluzione di un'equazione differenziale ellittica sul bordo del dominio dove l'equazione è definita con il comportamento della soluzione all'interno del dominio stesso. Quindi in tutti i problemi in cui sono date le condizioni al bordo, si possono derivare importanti informazioni circa il comportamento delle soluzioni all'interno del dominio partendo dal loro comportamento della soluzione sul bordo del dominio, che è dato dal problema stesso. Questo risultato si presta in diversi modi a derivare stime di grandezze importanti nello studio delle equazioni ellittiche, come ad esempio la norma
(vedi Spazio Lp) del gradiente della soluzione.
Enunciato
Sia
e sia
un dominio regolare e limitato. Sia
, dove
indica la chiusura topologica di
, una soluzione classica dell’equazione
in
, con
continua.[1]
Allora, denotando con
il versore normale esterno su
e con
una primitiva di
, si ha:
![{\displaystyle N\int _{\Omega }G(u(x))dx-{\frac {N-2}{2}}\int _{\Omega }\vert \nabla u(x)\vert ^{2}dx=\int _{\partial \Omega }G(u(x))(x\cdot \nu (x))d\sigma +\int _{\partial \Omega }{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)(x\cdot \nabla u(x))d\sigma -{\frac {1}{2}}\int _{\partial \Omega }\vert \nabla u(x)\vert ^{2}(x\cdot \nu (x))d\sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13cb3d80128260eae4ef382a5392df816371af49)
dove
indica la misura sul bordo di
.
Caso di condizioni al bordo di Dirichlet
Nel caso in cui valga anche una condizione di Dirichlet omogenea, ossia l'equazione è del tipo
![{\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=g(u(x)),&\forall x\in \Omega ,\\u(x)=0,&\forall x\in \partial \Omega ,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ab1c5e21b05f0149608e888bb2317730eb4a38)
sappiamo per il principio del massimo che
dunque si ha che
Quindi,
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nu (x)\cdot \nabla u(x)=-{\frac {\nabla u(x)\cdot \nabla u(x)}{\vert \nabla u(x)\vert }}=-\vert \nabla u(x)\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00bcadac70fbc6d99e7300bfaae62e7596d7271)
Usando queste due identità si ottiene che
![{\displaystyle x\cdot \nabla u(x)=-(x\cdot \nu (x))\vert \nabla u(x)\vert =(x\cdot \nu (x)){\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0182b667d68e865c3240af5b1c2e295249fa6bb1)
Inoltre,
e dall'equazione stessa si ottiene che
![{\displaystyle \int _{\Omega }\vert \nabla u(x)\vert ^{2}dx=\int _{\Omega }g(u(x))u(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c88568a3b05ca7a41bb6d701983789e64d5196)
Infine, essendo
si ha che
per ogni
in
. Usando le identità appena ottenute nell'identità di Pohozaev, essa si riduce a[2]
![{\displaystyle N\int _{\Omega }G(u(x))dx+\left(1-{\frac {N}{2}}\right)\int _{\Omega }u(x)g(u(x))dx={\frac {1}{2}}\int _{\partial \Omega }(x\cdot \nu )\left({\frac {\partial u}{\partial \nu (x)}}(x)\right)^{2}d\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b1c5680eb3ff21291ac1876f0e761b41b2040e)
Note
- ^ Annamaria Canino, Condizione sulla crescita di "g" e identità di Pohozaev (PDF), in Problemi ellittici in assenza di compattezza, SISSA, 1983, p. 4. URL consultato il 15 maggio 2020.
- ^ S. Kesavan, Functional analysis and application, Wiley, 1988, p. 237.
Bibliografia
- Antonio Ambrosetti e Andrea Malchiodi, Nonlinear analysis and semilinear elliptic problems, vol. 104, Cambridge University Press, 2007.
- Nassif Ghoussoub e Amir Moradifam, Functional Inequalities: New Perspectives and New Applications: New Perspectives and New Applications, vol. 187, American Mathematical Soc., 2013.
Voci correlate
- Equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche
- Operatore di Laplace
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