In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin-Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.
Enunciato
Sia una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto[1]
è dato dal singolo integrale
- .
Dimostrazione
La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:
- ;
dove
- .
Ora, supposto questo vero per , non resta che provarlo per . Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che
- .
Allora, applicando l'ipotesi induttiva,
e questo completa la dimostrazione.
Applicazioni
Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare come (vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.
Note
- ^ Si noti che non si sta compiendo l'operazione , né l'operazione .
Bibliografia
- (EN) Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2
Collegamenti esterni
- Alan Beardon, Fractional calculus II, su nrich.maths.org, University of Cambridge, 2000.
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