Equazione di Eulero

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In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{n-1}xy'(x)+a_{n}y(x)=0}$

La sostituzione ${\displaystyle x=e^{u}}$ mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:

${\displaystyle x^{\lambda }\log ^{m}x}$

ove ${\displaystyle \lambda }$ è un numero complesso e ${\displaystyle m}$ è un intero non negativo.

Nella sua forma più generale (non omogenea):

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{(i)}(x)=f(x)\qquad a_{n}\neq 0}$

è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.

L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:

${\displaystyle x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=0}$

dove ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2}}$ sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.

Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:

${\displaystyle y=x^{m}}$

differenziando si ha:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\qquad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}}$

Sostituendo nell'equazione di partenza:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+a_{1}x(mx^{m-1})+a_{2}(x^{m})=0}$

e riordinando i termini:

${\displaystyle m^{2}+(a_{1}-1)m+a_{2}=0}$

Si può ora risolvere in funzione di ${\displaystyle m}$, ottenendo tre casi di particolare interesse:

• Caso 1: si hanno due radici distinte ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$.
• Caso 2: si ha una radice reale ${\displaystyle m}$ multipla.
• Caso 3: si hanno due radici complesse ${\displaystyle m_{1,2}=\alpha \pm i\beta }$

Nel primo caso la soluzione è:

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}$

Nel secondo è:

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}}$

Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione ${\displaystyle y=x^{m}}$.

Nel terzo caso la soluzione è:

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))}$

con:

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\qquad \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)}$

Per ${\displaystyle c_{1}\,}$ e ${\displaystyle c_{2}\,}$ nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo ${\displaystyle x=e^{t}}$ ed utilizzando la formula di Eulero.

• (EN) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 10 maggio 2006, ISBN 978-0-470-08484-7.
• (EN) Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.
• (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

• Equazione differenziale ordinaria
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Eulero, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) N.Kh. Rozov, Euler equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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