Disuguaglianza di Popoviciu

In analisi matematica, la disuguaglianza di Popoviciu è una disuguaglianza riguardante le funzioni convesse. È simile alla disuguaglianza di Jensen e fu pubblicata nel 1965 dal matematico rumeno Tiberiu Popoviciu[1].

Enunciato

Sia ƒ una funzione da un intervallo I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } in R {\displaystyle \mathbb {R} } . Se ƒ è convessa, allora per tre punti qualsiasi x , y , z {\displaystyle x,y,z} di I {\displaystyle I} ,

f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) 3 + f ( x + y + z 3 ) ≥ 2 3 [ f ( x + y 2 ) + f ( y + z 2 ) + f ( z + x 2 ) ] . {\displaystyle {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right].}

Viceversa, se ƒ è continua, allora è convessa se e solo se la disuguaglianza precedente vale per ogni x, y, z in I {\displaystyle I} . Se ƒ è strettamente convessa, la disuguaglianza è stretta ad eccezione del caso x = y = z.[2]

Vi sono delle generalizzazioni pesate di questa disuguaglianza, oppure con un qualsiasi numero finito di punti anziché 3.[3][4]

Note

  1. ^ Tiberiu Popoviciu, Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes, in Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat., vol. 11, 1965, pp. 155-164.
  2. ^ Constantin Niculescu, Lars Erik Persson, Convex functions and their applications: a contemporary approach, Springer Science & Business, 2006, p. 12, ISBN 978-0-387-24300-9.
  3. ^ Darij Grinberg (2008). Generalizations of Popoviciu's inequality. arXiv:0803.2958v1
  4. ^ J. E. Pečarić, Frank Proschan, Yung Liang Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Academic Press, 1992, p. 171, ISBN 978-0-12-549250-8.