Disuguaglianza di Bernstein

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Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovich Bernstein, di cui porta il nome.

Teorema

Siano $X_{1},...,X_{n}$ delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:

\mathbb {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right|\geq \lambda \right)\leq 2e^{-{\frac {\lambda ^{2}}{2\sigma ^{2}+{\frac {2}{3}}m\lambda }}}

;

dove:

$\sigma ^{2}=Var(\sum X_{i})=\sum Var(X_{i})=\sum \sigma _{i}^{2}$ è la varianza della somma delle variabili,
$\mu =\sum \mathbb {E} [X_{i}]$ è il valore atteso della somma delle variabili,
$m$ è una costante tale che $\mathbb {P} (|X_{i}-\mu _{i}|>m)=0$ , ovvero $m$ è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le $n$ variabili casuali $X_{1},\ldots ,X_{n}$ (tale $m$ esiste, in quanto si è assunto che le $X_{i}$ fossero limitate).

Disuguaglianza di Bernstein e Chebyshev a confronto

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:

\mathbb {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right|\geq \lambda \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}}};

la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi $\lambda$ ) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).