Topológiák összehasonlítása

A matematika topológia nevű ágában topológiák összehasonlításán azt értjük, hogy egy adott alaphalmazon értelmezett két topológia közül az egyiket a másiknál finomabbnak (vagy ekvivalens értelemben a másodikat az elsőnél durvábbnak) mondjuk.

Legyen ${\displaystyle \tau _{1}}$ és ${\displaystyle \tau _{2}}$ topológia egyazon ${\displaystyle X}$ alaphalmazon. Ha ${\displaystyle \tau _{1}\subset \tau _{2}}$, akkor azt mondjuk, hogy ${\displaystyle \tau _{2}}$ finomabb mint ${\displaystyle \tau _{1}}$, illetve ekvivalens megfogalmazásban ${\displaystyle \tau _{1}}$ durvább mint ${\displaystyle \tau _{2}}$.

• Tetszőleges alaphalmazon a diszkrét topológia minden más topológiánál finomabb, az indiszkrét topológia minden más topológiánál durvább.
• Az {1,2,3} alaphalmazon jelölje ${\displaystyle \tau _{1}}$ azt a topológiát, amely az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból áll. Jelölje továbbá ${\displaystyle \tau _{2}}$ azt a topológiát, amely az { }, {1}, {2}, {1,2} és {1,2,3} halmazokból áll. Akkor ${\displaystyle \tau _{1}}$ durvább ${\displaystyle \tau _{2}}$-nél, és ${\displaystyle \tau _{2}}$ finomabb ${\displaystyle \tau _{1}}$-nél.
• Ugyanezen az alaphalmazon az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból álló illetve az {}, {2} és {1,2,3} halmazokból álló topológiák közül egyik sem finomabb vagy durvább a másiknál.

Legyen ${\displaystyle \tau _{1}}$ és ${\displaystyle \tau _{2}}$ topológia egyazon ${\displaystyle X}$ alaphalmazon úgy, hogy ${\displaystyle \tau _{1}}$ finomabb, mint ${\displaystyle \tau _{2}}$. Akkor az ${\displaystyle (X,\tau _{1})}$ topologikus térből az ${\displaystyle (X,\tau _{2})}$ topologikus térbe vezető identikus leképezés folytonos, hiszen ilyenkor tetszőleges ${\displaystyle \tau _{2}}$-beli nyílt halmaz ősképe ${\displaystyle \tau _{1}}$-beli nyílt halmaz.

• Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 963-10-6424-7 

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!