Skalárszorzat által indukált norma

Egy skalárszorzat által indukált norma, skalárszorzatos norma, röviden skalárszorzatnorma a matematikában egy olyan norma, mely számítható skalárszorzatból. Véges dimenziós valós vagy komplex skalárszorzatos vektorterekben ez éppen az euklideszi norma. Általában minden prehilberttérben van skalárszorzatból származó norma, amivel a prehilberttér normált tér. Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, hogyha teljesíti a paralelogrammaazonosságot. Emellett a skalárszorzatból származó normák teljesítik a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, és invariánsak az unitér transzformációkra.

Ha ${\displaystyle V}$ vektortér a valós vagy komplex számok ${\displaystyle {\mathbb {K} }}$ teste felett, ellátva a ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ skalárszorzattal, akkor ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ skalárszorzatos vektortér. Ekkor egy ${\displaystyle v\in V}$ vektor normája:

${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$,

vagyis a vektor önmagával vett skalárszorzatának négyzetgyöke. Ezzel a norma jóldefiniált, mivel a vektorok önmagukkal vett skalárszorzata valós és nemnegatív.

Ezzel a normával ${\displaystyle V}$ normált tér; sőt, a norma által indukált ${\displaystyle d}$ metrikával ${\displaystyle (V,d)}$ metrikus tér, és a ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ normatopológiával ${\displaystyle (V,{\mathcal {T}})}$ topologikus tér

Fontos példák a következők:

• Véges dimenziós vektorterekben az euklideszi norma
• Az ℓ² négyzetesen összegezhető sorozatterekben az ℓ²-norma
• Az L² négyzetesen integrálható függvények terében az L²-norma
• A H^s Szoboljev-térben a Szoboljev-norma
• A Frobenius-norma a mátrixok terén
• A Hilbert–Schmidt-operátorok terén a Hilbert–Schmidt-norma

A ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$ skalárszorzat által indukált leképezés norma, tehát teljesíti a definitséget, az abszolút homogenitást és a háromszög-egyenlőtlenséget.

A három normaaxióma a definitség, az abszolút homogenitás és a háromszög-egyenlőtlenség.

A definitség következik a négyzetgyökvonás nullhelyének egyértelműségéből minden ${\displaystyle v\in V}$ vektorra:

${\displaystyle \|v\|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {\langle v,v\rangle }}=0\;\Rightarrow \;\langle v,v\rangle =0\;\Leftrightarrow \;v=0}$,

az abszolút homogenitás ${\displaystyle v\in V}$ és ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ esetén:

${\displaystyle \|\alpha v\|^{2}=\langle \alpha v,\alpha v\rangle ={\bar {\alpha }}\alpha \langle v,v\rangle =|\alpha |^{2}\|v\|^{2}}$

és a háromszög-egyenlőtlenség minden ${\displaystyle v,w\in V}$-re a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|v+w\|^{2}&=\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle +\langle w,w\rangle =\|v\|^{2}+\langle v,w\rangle +{\overline {\langle v,w\rangle }}+\|w\|^{2}\\&=\|v\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle v,w\rangle +\|w\|^{2}\leq \|v\|^{2}+2\,\|v\|\,\|w\|+\|w\|^{2}=\left(\|v\|+\|w\|\right)^{2}\,,\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ a komplex szám valós része, és a két utolsó lépésben négyzetgyököt kell vonni.

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot:

${\displaystyle \|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2(\|v\|^{2}+\|w\|^{2})}$

minden ${\displaystyle v,w\in V}$ vektorra. Megfordítva a Jordan–Neumann-tétel szerint, ha egy ${\displaystyle \|\cdot \|}$ norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot, akkor van skalárszorzat, ami indukálja. A skalárszorzat a polarizációs formulával számítható, valós esetben:

${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2})}$.

Egy skalárszorzatból származó norma invariáns az unitér transzformációkra. Ha ${\displaystyle U\colon V\rightarrow W}$ unitér transzformációja a ${\displaystyle V}$ vektortérnek egy ${\displaystyle W}$ skalárszorzatos vektortérbe, a hozzá tartozó normával, akkor

${\displaystyle \|Uv\|=\|v\|}$,

mivel

${\displaystyle \|Uv\|^{2}=\langle Uv,Uv\rangle =\langle U^{\ast }Uv,v\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}}$

közvetlen következménye, ahol ${\displaystyle U^{\ast }}$ az ${\displaystyle U}$-hoz adjungált operátor. Egy unitér transzformáció tehát nem változtatja a vektor normájának értékét. Véges dimenziós esetben ezek a nullvektor körüli forgatások.

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget:

${\displaystyle \left|\langle v,w\rangle \right|\leq \|v\|\,\|w\|}$,

ahol az egyenlőség pontosan azt jelenti, hogy a ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ lineárisan összefüggnek. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből azonnan adódik, hogy:

${\displaystyle {\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}\leq 1}$,

amiből két valós vektor közötti ${\displaystyle \varphi }$ szög meghatározható:

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}}$

Eszerint a szög mindig ${\displaystyle [0,\pi ]}$-be esik, vagyis ${\displaystyle 0^{\circ }}$ és ${\displaystyle 180^{\circ }}$ közé. Komplex vektorok szögére különböző definíciók vannak, köztük olyanok is, melyeknél a szög mindig valós.^[1]

Általában két vektor, ${\displaystyle v,w\in V}$ ortogonális, ha ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$. Ortogonális vektorok esetén a Pitagorasz-tétel:

${\displaystyle \|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}}$,

ami közvetlenül adódik a háromszög-egyenlőtlenség levezetésének első részéből. A Pitagorasz-tétel kibővíthető véges sok, páronként ortogonális ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ vektorokra:

${\displaystyle \|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}}$.

Hilbert-terekben végtelen sorösszegre a Parseval-formula a megfelelője.

Ha a skalárszorzat definitsége helyett csak pozitív szemidefinitséget írunk elő, akkor a skalárszorzat félnormát indukál. Minden ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )\colon V\times V\rightarrow {\mathbb {K} }}$ pozitív szemidefinit Hermit-féle szeszkvilineáris alak, valós esetben szimmetrikus bilineáris alak minden ${\displaystyle v\in V}$-re

${\displaystyle p(v)={\sqrt {(v,v)}}}$

félnorma. Ezzel a félnormával ${\displaystyle (V,p)}$ félnormált tér, ami azonban nem metrikus tér általában. Maradékosztály-képzéssel származtatható belőle norma, így normált tér, ami metrikus és topologikus tér is.

Például a véletlen valószínűségi változók terében a kovariancia bilineáris alak, és a véletlen valószínűségi változók terén skalárszorzatot ad azon a faktortéren, melyben azonosnak tekintik azokat a valószínűségi változókat, amelyek egymás konstansai. Ekkor a valószínűségi változók normája egyenlő a valószínűségi változó szórásával.

• Herbert Amann, Joachim Escher. Analysis I. Basel: Birkhäuser (2006. szeptember 15.) 
• Albrecht Beutelspacher. Lineare Algebra, 6., Vieweg (2003. szeptember 15.) 
• Bronstein et al.. Taschenbuch der Mathematik, 7., Harri Deutsch (2008. szeptember 15.) 
• Harro Heuser. Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Vieweg (2006. szeptember 15.) 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Skalarproduktnorm című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.