Pell-egyenlet

A Pell-egyenlet (John Pell után) az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x2-dy2=1, ahol d>1 olyan egész szám, amely nem négyzetszám, és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

A Pell-egyenletek megoldása

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor d {\displaystyle {\sqrt {d}}} irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

| x y − d | < 1 y 2 . {\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}-{\sqrt {d}}\right|<{\frac {1}{y^{2}}}.}

Ha K a 2 d + 1 {\displaystyle 2{\sqrt {d}}+1} után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

| x 2 − d y 2 y 2 | = | x y − d | | x y + d | < K y 2 , {\displaystyle \left|{\frac {x^{2}-dy^{2}}{y^{2}}}\right|=\left|{\frac {x}{y}}-{\sqrt {d}}\right|\left|{\frac {x}{y}}+{\sqrt {d}}\right|<{\frac {K}{y^{2}}},}

azaz | x 2 − d y 2 | {\displaystyle |x^{2}-dy^{2}|} értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

x 2 − d y 2 = X 2 − d Y 2 = L {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=X^{2}-dY^{2}=L}

másrészt x≡X mod L és y≡Y mod L. Ekkor

L 2 = ( x 2 − d y 2 ) ( X 2 − d Y 2 ) = ( x X + d y Y ) 2 − d ( y X + Y x ) 2 = ( x X − d y Y ) 2 − d ( y X − Y x ) 2 {\displaystyle L^{2}=(x^{2}-dy^{2})(X^{2}-dY^{2})=(xX+dyY)^{2}-d(yX+Yx)^{2}=(xX-dyY)^{2}-d(yX-Yx)^{2}}

és itt az utóbbi jobb oldali számok közül xX-dyY és yX-Yx oszthatók L-lel (xX-dyY ≡ x^2-dy^2 mod L és yX-Yx ≡ xy-xy mod L), azaz Lu és Lv alakúak. Így végigosztva L^2-tel: u 2 − d v 2 = 1 {\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1} adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0, azaz x/y=X/Y teljesülne.

Az összes megoldás

Ha ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} az x 2 − d y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1} egyenlet legkisebb pozitív megoldása, akkor a többit a x n + y n d = ( x 1 + y 1 d ) n {\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{n}} képlettel kaphatjuk meg.

A legkisebb megoldás

A számelmélet egyik fontos problémája, hogy mekkora egy Pell-egyenlet legkisebb megoldása. Hua Lo Keng az x 2 − d y 2 = 4 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4} egyenlet (d nem négyzetszám, d ≡ 0 , 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv 0,1{\pmod {4}}} ) legkisebb megoldására az O ( e d log ⁡ d ) {\displaystyle O(e^{{\sqrt {d}}\log d})} becslést adta.

Források

  • A Pell-egyenletről Archiválva 2014. március 15-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • A Pell-egyenlet Archiválva 2013. május 8-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap