A lineáris egyenletrendszer olyan többismeretlenes egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.
Példa
Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer általános felírása:
Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai.
Egy három egyenletből álló háromismeretlenes lineáris egyenletrendszer konkrét számokkal:
A keresett megoldások x, y és z ismeretlenek azon összetartozó értékei, amelyek együttesen egyszerre igazzá teszik mindhárom fenti egyenlőséget.
Vektoriális alak
Az m darab egyenletet összevonhatjuk egy egyenletté, ha az együtthatók oszlopaiból mdimenziós vektorokat képzünk:
A feladat tehát úgy is értelmezhető, hogy a lineáris egyenletrendszer együtthatóiból álló oszlopvektorok olyan lineáris kombinációját keressük, amely a
vektorral megegyezik.
Mátrixos alak
A lineáris egyenletrendszer mátrixa egy olyan m×n-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatóit tartalmazza. Az előbbi egyenletrendszer mátrixa:
Ha bevezetjük a és az jelöléseket, akkor a lineáris egyenletrendszer a következő rövid alakban írható fel:
Az A mátrix és az vektor szorzata formálisan éppen a kívánt egyenleteket adja.
A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa
A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa olyan m×(n+1)-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatói mellett n+1-edik oszlopként az egyenletek konstansait is tartalmazza. Például az előző egyenletrendszer kibővített mátrixa:
A kibővített mátrixot a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságát vizsgáló Kronecker–Capelli-tétel alkalmazása során használjuk.
Vannak esetek, amikor az adott egyenletrendszer a fent említett Cramer-szabály alkalmazásával sem megoldható, de más ügyeskedések is elégtelen próbálkozások lennének, mint például a Gauss-elimináció vagy akár a Sarrus-szabály. Ilyen egyenletrendszerek azok, melyekben az ismeretlenek száma meghaladja az egyenletek számát, de az ismeretlenek száma csak annyival több, hogy egyik ismeretlen a másik (többi) segítségével meghatározható legyen. Ezeket parciálisan határozatlan egyenletrendszereknek nevezzük. Ebben az esetben alkalmazzuk az elemi bázistranszformációs módszert.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap