A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.
Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).
Általában
Skalármező Laplace-operátora:
![{\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e61dd881345052528425417c91a4e46edefdc7e)
Vektormezőre:
![{\displaystyle \Delta {\vec {A}}=\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \,{\vec {A}}\right)-\operatorname {rot} \left(\operatorname {rot} \,{\vec {A}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a28d2a7794aea13b8e1eb43ec7d078f67367468)
A divergencia (div), a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:
![{\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad683dd0e121ecc9525a3a26dd4288fda2f1bbab)
a definíció alapján, ahol
a nabla operátor.
Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.
Egy dimenzióban
Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós
függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:
.
Két dimenzióban
Az
kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:
derékszögű koordinátákban:
![{\displaystyle \Delta f(x,y)={\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f451083f56ba83556bb320adee00378f6dcc2d)
polárkoordinátákban:
![{\displaystyle \Delta f(r,\phi )={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0639be676c6b3d3aeff287469c8398b6bf594171)
vagy
![{\displaystyle \Delta f(r,\phi )={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42064718bda46317c86ec894c0d9d8fe827f4a76)
Három dimenzióban
A
háromváltozós függvényre adódik
derékszögű koordináta-rendszerben
![{\displaystyle \Delta f(x,y,z)={\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c693834e0a2ee91cb46ed6e9e7ea5e640ff0c4ee)
hengerkoordinátákban
![{\displaystyle \Delta f(\rho ,\phi ,z)={\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \cdot {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5196aeebda088e412c8ca6b1b09ca62ef3ebf840)
az
gömbi koordinátákkal
![{\displaystyle \Delta f(r,\vartheta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \vartheta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta \cdot {\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8b3f5b3488639b834d5a4f06a5d64ce060cf92)
Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható:
vagy akár
.
A Laplace-operátor Green-függvénye
mit
.
Ekkor teljesül:
, ahol
a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.
Megjegyzések
A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:
![{\displaystyle \Delta \varphi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae202f10d6fab9eea1024f2b824210a99d3d64d9)
Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.
Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.
Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele
.
A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:
![{\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4ae977638ec6190b9ea0271f173e3b03764bfa)
Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.
Tulajdonságok
A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha
kétszer differenciálható és
forgatómátrix, akkor
,
ahol „
“ a függvénykompozíciót jelöli.
Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens
Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás
A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Agn és gnm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:
- 1D-szűrő:
![{\displaystyle {\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eae9258e70445b256f6be1bdbad4a7309adfafb)
- 2D-szűrő:
![{\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58cb62fc6fb6a8ecf95edd1060c8a35d50963a4)
A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:
- 2D-Filter:
![{\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35657146b20aec457fcc8217cc593c4629f326ff)
Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.
Laplace–Beltrami-operátor
Értelmezése
A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor.
Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.
Az
sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező
-en.
Az
sokaság minden
pontjában fennáll a
érintővektorra:
![{\displaystyle \langle {\mbox{grad}}f(x),v\rangle =\mathrm {d} f(x)(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4448a5420a4f5eb11861c76a3a4e2acb422ba98)
Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.
A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:
![{\displaystyle \left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8d772fd78c2af9e0d0b52e1ac281bcb8ce3ad2)
az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A
-k a
metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát
, ahol
a Kronecker-delta.
Az X vektormező divergenciája az
sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek
Lie-deriváltjával
![{\displaystyle ({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}:={\mathcal {L}}_{X}\mathrm {vol} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f800b0c1ccce2b0258a9013a95638861dd58fb8)
Ha
a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint
![{\displaystyle \mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;\mathrm {d} x^{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce05f3aa06a979f1c9092f705a5e615902b6c54)
Itt
a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.
A
-k a
![{\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ae69301a9127500c963e96a62000e287128595)
bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.
Helyi koordinátákban
![{\displaystyle {\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7beb940591d39ef0ebc9f91e81f5e776914703bf)
Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:
.
Alakjai
A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:
![{\displaystyle \Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f+(\partial ^{i}f)\partial _{i}\ln {\sqrt {|g|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cbb3cab2343e709bb034c737f02e04bcb206bb)
Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre
, azért
adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.
A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra
és
, a gömbi koordinátákra pedig
.
A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:
.
A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:
.
Alkalmas f és h függvényekre:
.
Források
- Otto Forster: Analysis 3. - 3. Auflage. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1984
- Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1995
Nemzetközi katalógusok | - LCCN: sh85074667
- GND: 4166772-4
- KKT: 01181008
|
---|