Jordan-függvény
A számelméletben egy n Jordan-függvénye rögzített k pozitív egész esetén azoknak a k-asoknak a száma, amelyekben minden szám pozitív egész, és legfeljebb n, továbbá a benne levő számok n-nel együtt relatív prím k + 1-est alkotnak. Ez az Euler-függvény általánosítása, ami J1. A függvényt Camille Jordan után nevezték el.
Tulajdonságok
A Jordan-függvény multiplikatív, és értéke
- ,
ami a Dirichlet-konvolúcióval
és Möbius-inverzióval
- .
Mivel μ Dirichlet-generátorfüggvénye 1/ζ(s) és nk Dirichlet-generátorfüggvénye ζ(s-k), azért a Jk sora
- .
A Jk(n) átlagrendje
- .
A Dedekind-féle pszi-függvény kifejezhető Jordan-függvénnyel:
- ,
és a definícióra való tekintettel, felismerve, hogy minden tényező a prímek feletti szorzatban a p-k körosztási polinomja igazolható, hogy vagy egész értékű multiplikatív függvény.
. [1]
Mátrixcsoportok rendje
Az m rendű, Zn fölötti mátrixok általános lineáris csoportjának rendje[2]
Az m rendű, Zn fölötti mátrixok speciális lineáris csoportjának rendje
Az m rendű, Zn fölötti mátrixok szimplektikus csoportjának rendje
Az első két képletet még Jordan fedezte fel.
Példák
Explicit listák az OEIS-ben J2 A007434, J3
A059376, J4
A059377, J5
A059378, J6-tól J10-ig
A069091 egészen
A069095-ig.
Az arányokkal definiált multiplikatív függvények J2(n)/J1(n) A001615, J3(n)/J1(n)
A160889, J4(n)/J1(n)
A160891, J5(n)/J1(n)
A160893, J6(n)/J1(n)
A160895, J7(n)/J1(n)
A160897, J8(n)/J1(n)
A160908, J9(n)/J1(n)
A160953, J10(n)/J1(n)
A160957, J11(n)/J1(n)
A160960.
A J2k(n)/Jk(n) arányokra példák: J4(n)/J2(n) A065958, J6(n)/J3(n)
A065959, és J8(n)/J4(n)
A065960.
Jegyzetek
Források
- L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Chelsea Publishing, 147. o. [1919] (1971). ISBN 0-8284-0086-5
- M. Ram Murty. Problems in Analytic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 11. o. (2001). ISBN 0-387-95143-1
- Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic, 32–36. o. (2004). ISBN 1-4020-2546-7
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Jordan's totient function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.