Hall-tétel

A matematikában a Hall-tétel (1935, Philip Hall) egy kombinatorikai állítás, ami feltételt ad arra, hogy mikor lehet kiválasztani egy adott halmaz valahány nem feltétlenül diszjunkt részhalmazából különböző elemeket.

Legyen S = {S₁, S₂, … } egy (nem feltétlenül megszámlálható) halmaza egy M halmaz véges részhalmazainak. A diszjunkt reprezentáns rendszer (innentől DRR) egy olyan X = {x₁, x₂, …} halmaza M-beli páronként diszjunkt elemeknek, melyekre |X| = |S|, és minden i-re x_i eleme S_i-nek teljesül.

Az S halmaz teljesíti a Hall-feltételt, ha S minden T = {T_i } részhalmazára:

${\displaystyle |\bigcup T_{i}|\geq |T|}$ (vagyis bármely n részhalmaz együtt legalább n elemből áll)

A Hall-tétel azt állítja, hogy akkor és csak akkor létezik diszjunkt reprezentáns rendszer X = {x_i}, ha S teljesíti a Hall-feltételt.

Például: Legyen S₁ = {1, 2, 3}, S₂ = {1, 4, 5}, S₃ = {3, 5}.

Erre az S = {S₁, S₂, S₃} halmazra, egy megfelelő DRR az {1, 4, 5} (Nem csak ez az egy DRR lehetséges: a {2, 1, 3} ugyanúgy jó lenne).

A leggyakoribb példa a Hall-tétel alkalmazására, ha elképzelünk egy-egy n tagú férfiakból, illetve nőkből álló csoportot. Minden nő boldogan hozzámenne a férfiak egy bizonyos részhalmazához, és minden férfi boldogan elvenne bármely nőt, aki hozzá akarna menni. Gondoljuk meg, mikor lenne lehetséges úgy összeházasítani a férfiakat a nőkkel, hogy mindenki boldog legyen.

Ha M_i lesz az a halmaza a férfiaknak, akikkel az i-edik nő boldogan összeházasodna, akkor a tétel állítása szerint akkor és csak akkor tudna minden nő boldogan férjhez menni, ha az {M_i} halmazok halmaza kielégíti a Hall-feltételt.

A Hall-feltétel jelen esetben bármely ${\displaystyle I}$ részhalmazára a nőknek, azon férfiak száma, akik az ${\displaystyle I}$-beli nők közül legalább egyet elvennének (${\displaystyle \scriptstyle {|\bigcup \limits _{i\in I}T_{i}|}}$) legyen legalább akkora, mint a nők ezen részhalmazának elemszáma, ${\displaystyle \scriptstyle |I|=|\{T_{i}:i\in I\}|}$. Az természetes, hogy a feltétel szükséges, hiszen enélkül nem lenne elég az ${\displaystyle I}$-beli nők között szétosztható férfi. Annál érdekesebb, hogy a feltétel elégséges is.

A tételnek vannak egyéb alkalmazásai is. Például vegyünk egy csomag francia kártyát, és osszuk szét őket 13 darab csoportba, minden csoportba 4-et téve. Ezek után a Hall-tételt használva láthatjuk, hogy lehetséges minden csoportból 1-1 kártyát úgy kiválasztani, hogy a 13 kiválasztott kártya közül minden kártyaértékből pontosan 1 szerepeljen (ász, 2, 3, …, dáma, király).

Absztraktabb példaként legyen G egy csoport és H egy véges részcsoportja G-nek. Ekkor a tétel segítségével megmutathatjuk, hogy létezik olyan X halmaz, ami egyaránt DRR-je a H G-beli jobb és bal oldali mellékosztályainak.

A tétel a megbízatási problémára is alkalmazható: Adott n alkalmazott halmaza, és mindhez egy lista, hogy kit mire lehet alkalmazni. Akkor és csak akkor tudunk mindenkinek a képességeihez megfelelő munkát adni, ha k (1…n) minden értékére bármely k db lista összesen legalább k db munkát tartalmaz.

A még általánosabb problémára, melyben (nem feltétlenül különböző) elemeket kell kiválasztani halmazok egy halmazából, általában csak a csoportaxiómákat feltéve alkalmazhatjuk.

A Hall-tétel véges esetét fogjuk az |S|-re, azaz ${\displaystyle S}$ elemszámára vonatkozó indukcióval bizonyítani. A végtelen eset a kompaktsági tétel segítségével történik.

A tétel triviálisan igaz az |S| = 0 esetben.

Feltesszük, hogy a tétel minden |S| < n értékre igaz, ekkor |S| = n-re bizonyítunk.

Először nézzük, mi van akkor, ha az alábbi ${\displaystyle \left\vert \cup T\right\vert \geq \left\vert T\right\vert +1}$ erősebb feltételt tesszük fel minden ${\displaystyle \emptyset \neq T\subset S}$-re. Vegyük bármely ${\displaystyle x\in S_{n}}$ -et is ${\displaystyle S_{n}}$ reprezentánsának; a DRR-t ${\displaystyle S'=\left\{S_{1}\setminus \{x\},\ldots ,S_{n-1}\setminus \{x\}\right\}}$ -ből kell választanunk. De, ha ${\displaystyle \{S_{j_{1}}\setminus \{x\},...,S_{j_{k}}\setminus \{x\}\}=T'\subseteq S'}$ , akkor a feltevésünk szerint ${\displaystyle \left\vert \cup T'\right\vert \geq \left\vert \cup _{i=1}^{k}S_{j_{i}}\right\vert -1\geq k}$. A tétel már bizonyított esetét ${\displaystyle S'}$-re alkalmazva látható, hogy találhatunk megfelelő DRR-t ${\displaystyle S'}$-höz.

Egyébként bizonyos ${\displaystyle \emptyset \neq T\subset S}$ értékekre az éles egyenlőség áll fent ${\displaystyle \left\vert \cup T\right\vert =\left\vert T\right\vert }$. ${\displaystyle T}$-n belül már bármely ${\displaystyle T'\subseteq T\subset S}$-re beláttuk ${\displaystyle \left\vert \cup T'\right\vert \geq \left\vert T'\right\vert }$-t, így a tétel már bizonyított esete alapján választhatunk DRR-t ${\displaystyle T}$ számára. Az maradt hátra, hogy találjunk egy DRR-t ${\displaystyle S\setminus T}$-hez, ami nélkülözi ${\displaystyle \cup T}$ összes elemét (ezek az elemek ${\displaystyle T}$ SDR-ében vannak benne). Ahhoz, hogy (újfent) fel tudjuk használni a tétel már bizonyított esetét, meg kell mutatnunk, hogy bármely ${\displaystyle T'\subseteq S\setminus T}$-re, ${\displaystyle \cup T}$ elemeinek figyelembe vétele nélkül is marad elég elem ${\displaystyle \cup T'}$-ben: azaz ${\displaystyle \left\vert \cup T'\setminus \cup T\right\vert \geq \left\vert T'\right\vert }$-t kell belátnunk.

De

${\displaystyle \left\vert \cup T'\setminus \cup T\right\vert }$

${\displaystyle =\left\vert \bigcup (T\cup T')\right\vert -\left\vert \cup T\right\vert \geq \left\vert T\cup T'\right\vert -\left\vert T\right\vert }$

${\displaystyle =\left\vert T\right\vert +\left\vert T'\right\vert -\left\vert T\right\vert =\left\vert T'\right\vert }$,

${\displaystyle T}$ és ${\displaystyle T'}$ diszjunktságát felhasználva. Így a tétel már bizonyított esetét felhasználva látható, hogy ${\displaystyle S\setminus T}$-hez tényleg létezik megfelelő DRR, amely ${\displaystyle \cup T}$ egyetlen elemét sem tartalmazza.

Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

Ha ${\displaystyle G(V_{1},V_{2},E)}$ egy páros gráf, akkor ${\displaystyle G}$-ben akkor és csak akkor van ${\displaystyle V_{1}}$-et lefedő párosítás, ha ${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert N(S)\vert }$ minden ${\displaystyle S\subset V_{1}}$ részhalmazra.

A Hall-tételnek főleg a gráfelméleten belül vannak alkalmazásai. Gráfelméleti problémaként így fogalmazhatjuk meg az alapkérdést:

Adott egy páros gráf, G:= (S + T, E), két ugyanakkora méretű csúcshalmazzal, S-sel és T-vel, a kérdés pedig az, hogy létezik-e G-ben teljes párosítás.

A Hall-tétel megadja a választ:

Jelentse ${\displaystyle N_{G}(X)}$ a G-beli X csúcshalmaz szomszédainak számát. A Hall-tétel szerint akkor és csak akkor létezik teljes párosítás G-ben, ha S minden X részhalmazára

${\displaystyle \|X\|\leq \|N_{G}(X)\|}$

A tetszőleges gráfokra történő általánosítást a Tutte-tétel teszi lehetővé.

Legyen G egy páros gráf, BIP^N(X,Y) úgy, hogy X és Y nem feltétlenül azonos méretűek. Ilyenkor G-ben akkor és csak akkor párosíthatók X összes csúcsai Y-beliekkel, ha az X csúcshalmaz kielégíti a Hall-feltételt.

A korábbi jelöléseket használva a Hall-feltétel: minden A részhalmazára X-nek igaz, hogy |Г(A)| ${\displaystyle \geq }$ |A|.

Ez a tétel tagja annak a 7 db különösen jelentős kombinatorikai tételnek, amelyek egyébként logikailag ekvivalensek. Ezek:

• Kőnig-tétel
• A Kőnig–Egerváry-tétel (1931) (Kőnig Dénes, Egerváry Jenő)
• Menger–tétel (1927)
• A Maximális folyam–minimális vágás-tétel (Ford-Fulkerson-algoritmus)
• A Birkhoff–Neumann-tétel (1946)
• Dilworth-tétel

• Equivalence of seven major theorems in combinatorics^{[halott link]}
• Katona, Recski, Szabó: A számítástudomány alapjai. Typotex. Budapest, 2006. p. 58,59.

• Marriage Theorem a cut-the-knot honlapról
• Marriage Theorem and Algorithm a cut-the-knot honlapról

Ez a szócikk a PlanetMath proof of Hall's marriage theorem cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.