Copeland–Erdős-állandó

A Copeland–Erdős-állandó megkapható a "0," után a prímszámok sorrendben, tízes számrendszerben történő felírásával. Értéke körülbelül:

0,235711131719232931374143… (A033308 sorozat az OEIS-ben).

Az állandó értéke irracionális szám. Ez levezethető akár a Dirichlet-tétel, akár a Bertrand-posztulátum (Hardy and Wright, p. 113), akár Ramaré tétele segítségével, miszerint minden egész szám felírható legfeljebb hat prímszám összegeként. Közvetlenül következik a normalitásából is (lásd alább).

Hasonlóan levezethető, hogy bármilyen konstans amit úgy állítunk elő, hogy a "0," után bármely dn + a számtani sorozat prím tagjait írjuk, ahol a, d és 10 relatív prímek, irracionális lesz. Például a 4n + 1 vagy 8n + 1 alakú prímszámok. A Dirichlet-tétel alapján a dn·10m + a sorozat bármely m-re tartalmaz prímeket, és ezek a prímszámok szintén cd + a alakúak, tehát az egymás után írt prímek tetszőlegesen sok egymás utáni nullát fognak tartalmazni.

Tízes számrendszerben a konstans normális szám, ahogy azt 1946-ban Arthur Herbert Copeland és Erdős Pál bebizonyították (innen kapta nevét is).

Az állandó így írható fel precízen:

∑ n = 1 ∞ p n 10 − ( n + ∑ k = 1 n ⌊ log 10 ⁡ p k ⌋ ) {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}

ahol pn az n-edik prímszámot jelöli.

Lánctört alakban a következőképp írható fel: [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (OEIS A030168).

Kapcsolódó állandók

Bármilyen b számrendszerben a következő szám:

∑ n = 1 ∞ b − p n , {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}},\,}

ami b alappal 0,0110101000101000101…b -ként írható fel, ahol az n-edik számjegy akkor 1, ha n prímszám, irracionális. (Hardy and Wright, p. 112).

Kapcsolódó szócikkek

  • Smarandache–Wellin-számok: azok az egész számok, melyek úgy keletkeznek, hogy a Copeland–Erdős-állandó értékét valameddig kiírva, az elejéről a „0,”-t levágjuk.

Jegyzetek

  • Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1938), An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853171-0.

További információk

  • Weisstein, Eric W.: Copeland-Erdos Constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld