Cauchy-féle ismétlődő integrálás

Cauchy-féle ismétlődő integrálás lehetővé teszi egy függvény n antideriváltjának komprimálást egy integrálba. (vö. Cauchy-féle integráltétel)

Skaláris eset

Legyen ƒ egy folytonos függvény a valós síkon. Akkor az ƒ függvény n-ik ismétlődő integrálja a alapon:

f ( − n ) ( x ) = ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n − 1 f ( σ n ) d σ n ⋯ d σ 2 d σ 1 {\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,d\sigma _{n}\cdots \,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}} ,

egyszerű integrálással:

f ( − n ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt} .

A bizonyítás a teljes indukcióval: Mivel ƒ folytonos, az integrálás alapjának figyelembe vételével


d d x f ( − 1 ) ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{(-1)}(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)}

és így

f ( − 1 ) ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t = 0 {\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0} .

Most feltételezzük: ez igaz n-re; n+1-re bizonyítandó, alkalmazzuk a láncszabályt. tekintsük a következő függvényt:

g ( x 1 , x 2 ) = 1 n ! ∫ a x 1 ( x 2 − t ) n f ( t ) d t {\displaystyle g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x_{1}}(x_{2}-t)^{n}f(t)dt} ;

akkor :

∂ ∂ x 1 g ( x 1 , x 2 ) = 1 n ! ( x 2 − x 1 ) n f ( x 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{n!}}(x_{2}-x_{1})^{n}f(x_{1})}

és alkalmazva a “differenciálást integrálás jel alatt” módszert, kapjuk:

∂ ∂ x 2 g ( x 1 , x 2 ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x 1 ( x 2 − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x_{1}}(x_{2}-t)^{n-1}f(t)dt} .

így:

d d x f ( − ( n + 1 ) ) ( x ) = {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{(-(n+1))}(x)=}
( ∂ ∂ x 1 g ( x 1 , x 2 ) + ∂ ∂ x 2 g ( x 1 , x 2 ) ) | x 1 = x = x 2 = {\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}g(x_{1},x_{2})+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}g(x_{1},x_{2})\right)\right|_{x_{1}=x=x_{2}}=}
1 n ! ( x − x ) n f ( x ) + 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t = {\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x-x)^{n}f(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt=}
0 + f ( − n ) ( x ) = {\displaystyle \left.0+f^{(-n)}(x)=\right.}
f ( − n ) ( x ) . {\displaystyle \left.f^{(-n)}(x)\right..}

továbbá

f − ( n + 1 ) ( a ) = 1 n ! ∫ a a ( x − t ) n f ( t ) d t = 0 {\displaystyle f^{-(n+1)}(a)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{a}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,dt=0} .

Ezért, ƒ függvény n-ik antideriváltja ƒ(-n), és ƒ(-k)(a)=0, az összes k-ra 1-től n-ig, megmutatva, hogy ƒ(-n)(x) egyenlő az eredeti ismételt integrállal.

Alkalmazások

A frakcionális számolásban, ez a formula használható a differintegrál fogalomhoz, lehetővé téve a differenciálást vagy az integrálást.

Irodalom

  • Gerald B. Folland: Advanced Calculus. (hely nélkül): Prentice Hall. 2002. ISBN 0-13-065265-2  

Kapcsolódó szócikkek