Cauchy-féle ismétlődő integrálás lehetővé teszi egy függvény n antideriváltjának komprimálást egy integrálba. (vö. Cauchy-féle integráltétel)
Skaláris eset
Legyen ƒ egy folytonos függvény a valós síkon. Akkor az ƒ függvény n-ik ismétlődő integrálja a alapon:
,
egyszerű integrálással:
.
A bizonyítás a teljes indukcióval: Mivel ƒ folytonos, az integrálás alapjának figyelembe vételével
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{(-1)}(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a25f265c380cdea699735d3866bd2d01a8a4e0)
és így
.
Most feltételezzük: ez igaz n-re; n+1-re bizonyítandó, alkalmazzuk a láncszabályt. tekintsük a következő függvényt:
;
akkor :
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}g(x_{1},x_{2})={\frac {1}{n!}}(x_{2}-x_{1})^{n}f(x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6810e4482e2b303e6677b6aeff7683a923ec810)
és alkalmazva a “differenciálást integrálás jel alatt” módszert, kapjuk:
.
így:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{(-(n+1))}(x)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadec8af79f3788124dfa29ab2c2a64b091f8f93)
![{\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}g(x_{1},x_{2})+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}g(x_{1},x_{2})\right)\right|_{x_{1}=x=x_{2}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60352674394a43bbc43b1e83826b9da8bb7a6a61)
![{\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x-x)^{n}f(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ba141bd387a60a7c767a97f34d5157dbddda5b)
![{\displaystyle \left.0+f^{(-n)}(x)=\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f200c63c0527afd8bbcc98752ef963f856b449)
![{\displaystyle \left.f^{(-n)}(x)\right..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a11ce21cfb8bf7208da3c4b698fd6c7c0c73729)
továbbá
.
Ezért, ƒ függvény n-ik antideriváltja ƒ(-n), és ƒ(-k)(a)=0, az összes k-ra 1-től n-ig, megmutatva, hogy ƒ(-n)(x) egyenlő az eredeti ismételt integrállal.
Alkalmazások
A frakcionális számolásban, ez a formula használható a differintegrál fogalomhoz, lehetővé téve a differenciálást vagy az integrálást.
Irodalom
- Gerald B. Folland: Advanced Calculus. (hely nélkül): Prentice Hall. 2002. ISBN 0-13-065265-2
Kapcsolódó szócikkek