Általánosított számtani sorozat

A matematikában az általánosított számtani sorozat, többszörös számtani sorozat, k dimenziós számtani sorozat vagy lineáris halmaz egész számok vagy egész szám n-esek olyan számtani sorozata, ahol a szomszédos elemek között többfajta különbség (differencia) is megengedett. Például 17 a kezdőelem, és a következőkben a különbség 3 vagy 5 többszöröse lehet. Formálisan,

${\displaystyle a+mb+nc+\ldots }$

alakú egészeket keresünk, ahol ${\displaystyle a,b,c}$ stb. állandó, ${\displaystyle m,n}$ stb. pedig valamilyen korlátok közé van szorítva

${\displaystyle 0}$  ≤  ${\displaystyle m}$  ≤  ${\displaystyle M}$

stb. véges sorozatot tekintve. A lehetséges differenciák számát jelölő ${\displaystyle k}$ számot az általánosított számtani sorozat dimenziójának nevezik.

Általánosabban, legyen

${\displaystyle L(C;P)}$

az összes olyan ${\displaystyle x\in N^{n}}$ halmaza, melyek felírhatók a következő alakban:

${\displaystyle x=c_{0}+\sum _{i=1}^{m}k_{i}x_{i},}$

ahol ${\displaystyle c_{0}\in C}$, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}\in P}$ és ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}\in N}$.

${\displaystyle L}$ akkor lineáris halmaz, ha ${\displaystyle C}$ pontosan egy elemből áll és ${\displaystyle P}$ véges.

Az ${\displaystyle N^{n}}$ valamely részhalmaza akkor szemilineáris (féllineáris), ha lineáris halmazok véges uniójából áll.

• Freiman-tétel

• Nathanson, Melvyn B.. Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets, Graduate Texts in Mathematics. Springer (1996). ISBN 0-387-94655-1