Transformée d'Abel

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En mathématiques, la transformée d'Abel, nommée d'après Niels Henrik Abel, est une transformation intégrale de projection d'une fonction axisymétrique.

La transformée d'Abel ${\displaystyle F}$ de la fonction ${\displaystyle f}$ s'écrit^[1] :

${\displaystyle F(x)=2\int _{x}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,dr.}$

Si ${\displaystyle f(r)}$ converge plus rapidement que ${\displaystyle 1/r}$, on peut écrire la transformée d'Abel inverse^[2] :

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dx}}\,{\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-r^{2}}}}.}$

La transformée d'Abel et son inverse ont un certain nombre d'utilisations dans le domaine de la physique, notamment dans le cas de distributions à symétrie circulaire en deux dimensions qui doivent être projetées en une dimension. C'est par exemple le cas pour la formation d'images optiques, la cartographie par radar ou la détection passive^[1].

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