Théorème de Krein-Milman
Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940[1], qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « théorème de Krein-Milman »).
Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe.
Notion de « point extrémal »
Soit un convexe et un point de . On dit que est un point extrémal de lorsque est encore convexe. Cela équivaut à dire que, avec , l'égalité implique .
Énoncé en dimension finie
Théorème — Tout convexe compact d'un espace affine de dimension finie est enveloppe convexe de l'ensemble de ses points extrémaux.
La démonstration n'est pas très longue, l'outil essentiel étant le théorème d'existence d'un hyperplan d'appui en tout point de la frontière d'un convexe.
La démonstration est une récurrence sur la dimension du convexe. Le résultat est évident pour un singleton ; supposons désormais le résultat vrai pour tous les convexes de dimension strictement inférieure à un entier fixé , et soit un convexe de dimension .
Quitte à remplacer l'espace ambiant par l'enveloppe affine de , on peut supposer que c'est un espace affine dont la dimension est également .
Prenons maintenant un point de et montrons qu'il est dans l'enveloppe convexe des points extrémaux. Pour ce faire, on trace une droite passant par . L'ensemble est alors un convexe de , compact par l'hypothèse de compacité faite sur . Il est donc de la forme , où .
Maintenant comme sont adhérents au complémentaire de , ce sont donc des points frontières de ce convexe. Il existe donc des hyperplans d'appui et en ces points. Introduisons les convexes et .
On remarque alors que tout point extrémal de (rep. ) est encore un point extrémal de . Soit en effet un tel point extrémal de , puis et deux points de . Si l'un au moins des deux points et n'est pas dans , vu le caractère séparant de cet hyperplan, tout le segment ouvert reste dans un seul demi-espace ouvert délimité par et évite donc ; si et sont tous les deux sur , c'est la convexité de qui assure que évite . Dans tous les cas le segment est donc bien tout entier dans et est donc extrémal dans
Par ailleurs, comme et sont de dimension , les deux convexes et sont de dimension strictement inférieure à . On peut donc leur appliquer l'hypothèse de récurrence. Ceci montre que (resp. ) est combinaison linéaire de points extrémaux de (resp. ), donc de points extrémaux de . Tant que appartient donc à l'enveloppe convexe de ces points extrémaux, puis à son tour puisqu'il est sur le segment .
Généralisation en dimension infinie
Théorème — Tout convexe compact d'un espace localement convexe séparé est l'enveloppe convexe-fermée de l'ensemble de ses points extrémaux.
La « réciproque (partielle) de Milman »[2] assure que cette représentation d'un convexe compact K comme enveloppe convexe-fermée d'une partie de K est, en un certain sens, optimale : l'adhérence d'une telle partie contient les points extrémaux de K.
Notes et références
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 (ISBN 3540422056), p. 41-42, 57 et 246
Article connexe
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