Progression arithmétique généralisée

En mathématiques, une  progression arithmétique généralisée ou ensemble linéaire est un ensemble d'entiers ou de n-uplets d'entiers construit comme une suite arithmétique, avec des raisons variables appartenant à un sous ensemble fini de ℕ.

${\displaystyle a+mb+nc+\ldots }$

${\displaystyle a,b,c,\ldots \in \mathbb {N} }$

${\displaystyle m,n,\ldots \in [0,M]\subset \mathbb {N} }$.

Le nombre des raisons possibles est appelé la dimension de la progression arithmétique généralisée.

Plus généralement,

${\displaystyle L(C;P)}$

est l'ensemble de tous les éléments ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ de la forme :

${\displaystyle x=c_{0}+\sum _{i=1}^{m}k_{i}x_{i}}$,

avec

${\displaystyle c_{0}\in C}$,

${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}\in P}$,

${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}\in \mathbb {N} }$.

${\displaystyle L}$ est une progression arithmétique généralisée si ${\displaystyle C}$ contient un et un seul élément, et ${\displaystyle P}$ est fini.

Un sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ est dit semi-linéaire si c'est l'union finie de suites arithmétiques généralisées.

Théorème de Freiman

(en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and Geometry of Sumsets, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, coll. « GTM » (n^o 165), 1996, 293 p. (ISBN 0-387-94655-1, zbMATH 0859.11003, lire en ligne)

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