Matrice unitaire
Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités :
où la matrice adjointe de U est notée U* (ou U† en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité.
L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n).
Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.
Propriétés
Toute matrice unitaire U vérifie les propriétés suivantes :
- son déterminant est de module 1 ;
- ses vecteurs propres sont orthogonaux ;
- U est diagonalisable : où V est une matrice unitaire et D est une matrice diagonale et unitaire ;
- U peut s'écrire sous la forme d'une exponentielle d'une matrice : où i est l'unité imaginaire et H est une matrice hermitienne.
- U est normale.
Propositions équivalentes
Soit U une matrice carrée de taille n à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont équivalentes :
- U est unitaire ;
- U* est unitaire ;
- U est inversible et son inverse est U* ;
- les colonnes de U forment une base orthonormale pour le produit hermitien canonique sur ℂn ;
- U est normale et ses valeurs propres sont de module 1.
Cas particuliers
Les matrices unités sont des matrices unitaires.
Référence
Voir aussi
Bibliographie
- Éric J. M. Delhez, Algèbre, vol. 1
- Joseph Grifone, Algèbre linéaire, Cépaduès-Éditions,
Articles connexes
v · m Matrices | |||||
---|---|---|---|---|---|
Forme | |||||
Transformée | |||||
Relation | |||||
Propriété | |||||
Famille | |||||
Associée |
| ||||
Résultats |
| ||||
Articles liés |
|
- Portail de l’algèbre