Lemme de Nakayama
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Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à Tadashi Nakayama (de), Goro Azumaya (de) et Wolfgang Krull.
Énoncés
Un énoncé général est le suivant :
Lemme de Nakayama (cas général) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini, I un idéal de A, et N un sous-A-module de M tel que . Alors il existe un élément a de I tel que .
La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :
Lemme de Nakayama (cas particulier) — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I un idéal de A tel que . Alors il existe un élément a de I tel que .
Le corollaire suivant[1] est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » :
Corollaire — Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et R le radical de Jacobson de A. Si alors .
(En effet, pour tout élément a de R, 1 + a est inversible.)
Démonstrations
Cas particulier
Soit une famille génératrice de M. Il existe des tels que pour tout i, . En notant Y la matrice des et d le déterminant de , on en déduit que dM=(0) (car tous les sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à 1 + I. (On peut aussi invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme identité de M, de matrice Y dans X.)
Cas général
Le -module est de type fini et vérifie , il suffit alors d'appliquer le résultat précédent : il existe un élément tel que ce qui revient à .
Références
- ↑ Pour une preuve directe, voir par exemple (en) Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni et V. V. Kirichenko, Algebras, Rings and Modules, vol. 1, Kluwer Academic Publishers, (lire en ligne), p. 71 ou cet exercice corrigé de la leçon sur les modules sur Wikiversité.
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