Inégalité de Shapiro

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En mathématiques, l'inégalité de Shapiro est une inégalité proposée par Harold Shapiro en 1954^[1].

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel et soient ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ des réels strictement positifs ; on suppose que

• ${\displaystyle n}$ est pair et inférieur ou égal à ${\displaystyle 12}$, ou
• ${\displaystyle n}$ est impair et inférieur ou égal à ${\displaystyle 23}$.

L'inégalité de Shapiro énonce que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geqslant {\frac {n}{2}}}$

où ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$^[2].

Pour de plus grandes valeurs de ${\displaystyle n}$ l'inégalité n'a pas lieu et la borne inférieure stricte est ${\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}$ où ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}9891\dots }$. Les décimales de cette constante ${\displaystyle \gamma }$ forment la suite A086277 de l'OEIS.

Les démonstrations initiales de l'inégalité dans les cas ${\displaystyle n=12}$ par Godunova et Levin en 1976 ^[3] et ${\displaystyle n=23}$ par Troesch en 1989^[4] reposent sur des calculs numériques. En 2002, P. J. Bushell et J. B. McLeod publient une démonstration analytique pour ${\displaystyle n=12}$^[5].

La valeur de ${\displaystyle \gamma }$ a été déterminée en 1971 par Vladimir Drinfeld à l'age de 17 ans, plus tard lauréat de la médaille Fields en 1990^[6]. Plus précisément, Drinfeld a montré que la constante ${\displaystyle \gamma }$ est égale à ${\displaystyle {\frac {1}{2}}h(0)}$, où ${\displaystyle h}$ est l'enveloppe convexe de ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ et ${\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{x/2}}}}$^[2].

Le premier contre-exemple a été trouvé par M. J. Lighthill en 1956^[7], pour ${\displaystyle n=20}$:

${\displaystyle x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )}$ où ${\displaystyle \epsilon }$ est près de 0.

Ainsi, le membre de gauche vaut ${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$, donc inférieur à 10 quand ${\displaystyle \epsilon }$ est assez petit.

Le contre-exemple suivant pour ${\displaystyle n=14}$ est de Troesch^{[8][réf. nécessaire]} :

${\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$.

• Inégalité de Nesbitt, cas particulier ${\displaystyle n=3}$

• (en) « Shapiro inequality », sur PlanetMath
• Énoncé et corrigé du problème d'entrée à l'ENS Ulm de 1997 qui traite de cette inégalité.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Shapiro inequality » (voir la liste des auteurs).

• P. J. Bushell et J. B. McLeod, « Shapiro's cyclic inequality for even n », J. Inequal. Appl., vol. 7,‎ 2002, p. 331-348 (ISSN 1029-242X, zbMATH 1018.26010, lire en ligne). Les auteurs donnent une démonstration analytique de la formule pour un entier pair ${\displaystyle n\leq 12}$, d'où le résultat suit pour tout ${\displaystyle n\leq 12}$. Ils présentent le cas ${\displaystyle n=23}$ comme un problème ouvert.
• V. G. Drinfeld, « A cyclic inequality », Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, vol. 9, n^o 2,‎ 1^er février 1971, p. 68-71 (ISSN 1573-8876, DOI 10.1007/BF01316982, S2CID 121786805)
• A. M. Fink, « Shapiro's inequality », dans Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović, vol. 430, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, coll. « Mathematics and its Applications », 1998 (ISBN 0-7923-4845-1, DOI 10.1007/978-94-015-9086-0_13, zbMATH 0895.26001), p. 241-248
• E. K. Godunova et V. I. Levin, « Exactness of a nontrivial estimate in a cyclic inequality », Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR, vol. 20,‎ 1976, p. 673-675 (DOI 10.1007/BF01155872)
• H. S. Shapiro, R. Bellman, D. J. Newman, W. E. Weissblum, H. R. Smith et H. S. M. Coxeter, « Problems for Solution: 4603-4607 », The American Mathematical Monthly, vol. 61, n^o 8,‎ 1954, p. 571 (DOI 10.2307/2307617)
• H. S. Shapiro et F. H. Northover (contre-exemple fourni par M. J. Lighthill), « Solution to Problem 4603: An invalid inequality », American Mathematical Monthly, vol. 63, n^o 3,‎ 1956, p. 191-192 (DOI 10.2307/2306671)
• B. A. Troesch, « The Validity of Shapiro's Cyclic Inequality », Mathematics of Computation, vol. 53, n^o 188,‎ octobre 1989, p. 657-664 (DOI 10.2307/2008728)

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