Identité de Brahmagupta

En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au IIIe siècle avant J.C., en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé « méthode chakravala », dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) , ou « identité de Fibonacci » montre que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Plus précisément :

∀ a , b , c , d ∈ A ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 {\displaystyle \forall a,b,c,d\in A\quad (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}} ,

où A désigne un anneau commutatif.

Démonstration

Il suffit de développer puis factoriser le terme de droite :

( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 = a 2 c 2 − 2 a c b d + b 2 d 2 + a 2 d 2 + 2 a d b c + b 2 c 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 = ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(ac-bd)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&=a^{2}c^{2}-2acbd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+2adbc+b^{2}c^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right).\end{aligned}}}

L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

( a 2 − n b 2 ) ( c 2 − n d 2 ) = ( a c + n b d ) 2 − n ( a d + b c ) 2 . {\displaystyle (a^{2}-nb^{2})(c^{2}-nd^{2})=(ac+nbd)^{2}-n\left(ad+bc\right)^{2}.}

Elle se déduit de celle de Diophante en multipliant b {\displaystyle b} et d {\displaystyle d} par − n {\displaystyle {\sqrt {-n}}} (c.-à-d. par e {\displaystyle e} , dans l'anneau quotient générique Z [ a , b , c , d , n , e ] / ( e 2 + n ) {\displaystyle \mathbb {Z} \left[a,b,c,d,n,e\right]/(e^{2}+n)} ). Inversement, l'identité de Diophante est le cas particulier n = − 1 {\displaystyle n=-1} de celle de Brahmagupta.

On obtient des formes équivalentes de ces deux identités en remplaçant b {\displaystyle b} par son opposé :

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 , ( a 2 − n b 2 ) ( c 2 − n d 2 ) = ( a c − n b d ) 2 − n ( a d − b c ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})&=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2},\\(a^{2}-nb^{2})(c^{2}-nd^{2})&=(ac-nbd)^{2}-n(ad-bc)^{2}.\end{aligned}}}

Remarques

  • L'identité de Brahmagupta exprime la multiplicativité de la norme relative à une extension quadratique.
  • Un cas particulier est la multiplicativité du module d'un nombre complexe : si u = a + ib et v = c + id avec a, b, c, d réels, l'identité de Diophante exprime que |u|2 |v|2 = |uv|2.
  • Posant dans l'espace euclidien R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} u = ( a , b ) , v = ( d , c ) {\displaystyle u=(a,b),v=(d,c)} , l'identité de Diophante exprime que ‖ u ‖ 2 ‖ v ‖ 2 = ( det ( u , v ) ) 2 + ( u . v ) 2 {\displaystyle \|u\|^{2}\|v\|^{2}=(\det(u,v))^{2}+(u.v)^{2}} .
  • L'identité des quatre carrés d'Euler peut être vue comme une généralisation, utilisant la norme des quaternions.
  • Il existe une identité similaire en huit carrés, dérivée des nombres de Cayley et liée à la périodicité de Bott (en).
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