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À la suite des travaux d'Euler sur la fonction gamma, James Stirling a introduit la fonction digamma en 1730, en la notant par Ϝ, la lettre grecque digamma (majuscule)[réf. souhaitée]. Elle fut par la suite étudiée par Legendre, Poisson et Gauss vers 1810 ; la convergence de la série de Stirling pour cette fonction a été démontrée par Stern en 1847[1]. Elle est désormais le plus souvent notée par la lettre ψ (psi minuscule).
Relation avec les nombres harmoniques
Partant de l'équation fonctionnelle de la fonction gamma, , en dérivant et en divisant par , on obtient , autrement dit (pour tout z non entier négatif). On en déduit par récurrence que, pour tout entier n > 1,
,
où Hn est le n-ième nombre harmonique (le calcul de sera exposé ci-dessous).
La fonction digamma pourrait ainsi définir une généralisation des nombres harmoniques aux complexes.
Propriétés
La fonction digamma est une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe privé des entiers négatifs.
La définition de la fonction gamma sous forme intégrale () montre que pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive, .
Ainsi,
, où γ = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni.
Par ailleurs, donc on a (en dérivant) la relation de « récurrence »
;
en fait, le théorème de Bohr-Mollerup montre que la fonction digamma est la seule solution de l'équation fonctionnelle
qui est monotone sur R+ et qui vérifie F(1) = −γ.
On en déduit que la fonction digamma d'un entier n > 0, souvent notée aussi ψ0(n) ou même ψ(0)(n)[2], est reliée aux nombres harmoniques par
où est le (n – 1)-ième nombre harmonique.
La fonction digamma satisfait également une formule de réflexionformule de réflexion similaire à celle de la fonction Gamma : pour tout nombre complexe z dont la partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1,
.
D'autres représentations par des intégrales existent. Ainsi, si la partie réelle de z est positive, on a :
La fonction digamma a des valeurs exprimables à l'aide des fonctions usuelles et de la constante d'Euler-Mascheroni pour des arguments rationnels, par exemple :
[5],
[6], etc.
De plus, la représentation par une série permet aisément de montrer qu'à l'unité imaginaire, on a
Plus généralement, pour des entiers p et q tels que 0 < p < q, la fonction digamma s'exprime à l'aide de la constante d'Euler et d'un nombre fini de fonctions élémentaires[7] :
;
la relation de récurrence permet d'en déduire sa valeur pour tous les arguments rationnels[8].
Notes et références
↑(en) Historique de la fonction digamma sur le site de Wolfram Research.
↑(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 6.3 (« psi (Digamma) Function. »), p. 258–259 : formule 6.3.16.
↑(en) Horst Alzer, Dimitri Karayannakis et H. M. Srivastava, « Series representations for some mathematical constants », Journal of Mathematical Analysis and Applications (en), vol. 320, no 1, , p. 145-162 (DOI10.1016/j.jmaa.2005.06.059) (p. 151).