Espace de de Sitter

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En mathématiques, l’espace de de Sitter est un espace maximalement symétrique en quatre dimensions de courbure positive en signature ${\displaystyle (-,+,+,+)\,}$. Il généralise en ce sens la 4-sphère au-delà de la géométrie euclidienne.

L'éponyme de l'espace de de Sitter est Willem de Sitter qui l'a proposé en 1917^[1],[2]. La dimension 4 est très utilisée car elle correspond à la relativité générale. En fait, il existe^{[réf. à confirmer][3]} en dimension entière ${\displaystyle n;n\geq 1}$.

On peut définir l'espace de de Sitter comme une sous-variété d'un espace de Minkowski généralisé à une dimension supplémentaire. Considérons l'espace de Minkowski R^1,n muni de la métrique standard :

${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.}$

L'espace de de Sitter est la sous-variété décrite par l'hyperboloïde à une nappe

${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2}}$

où ${\displaystyle \alpha }$ est une constante non nulle. La métrique dans un espace de de Sitter est celle induite par la métrique de Minkowski ambiante. Elle est non dégénérée, de signature lorentzienne. (Remarque : si l'on remplace ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ par ${\displaystyle -\alpha ^{2}}$ dans la définition ci-dessus, on obtient un hyperboloïde à deux nappes. La métrique induite est dans ce cas définie positive, et chaque nappe constitue un exemplaire d'un espace hyperbolique de dimension n. Pour une démonstration détaillée, voir géométrie de l'espace de Minkowski.)

Topologiquement, l'espace de de Sitter est R × Sⁿ⁻¹ (de telle sorte que, si n ≥ 3 alors l'espace de de Sitter est simplement connexe).

Le groupe d'isométrie de l'espace de de Sitter est le groupe de Lorentz O(1, n)^[4]. La métrique possède donc n(n + 1)/2 vecteurs de Killing indépendants et possède une symétrie maximale. Tout espace à symétrie maximale a une courbure constante.

Le tenseur de courbure de Riemann de l'espace de de Sitter est donné par^[4],[5] :

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={\frac {1}{\alpha ^{2}}}\left(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }\right)}$.

L'espace de de Sitter est une variété d'Einstein puisque le tenseur de courbure de Ricci est proportionnel à la métrique^[4] :

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$.

Cela signifie qu'en relativité générale, l'espace de de Sitter est solution de l'équation d'Einstein dans le vide, avec une constante cosmologique positive donnée par^[6],[7] :

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}}$.

La courbure scalaire de l'espace de de Sitter est donnée par^[6],[8] :

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda }$.

Dans le cas ${\displaystyle n=4}$, on obtient ${\displaystyle \Lambda ={\frac {3}{\alpha ^{2}}}}$ et ${\displaystyle R=4\Lambda ={\frac {12}{\alpha ^{2}}}}$^[9].

• [Boi 2011] (en) Luciano Boi, The quantum vacuum : a scientific and philosophical concept, from electrodynamics to string theory and the geometry of the microscopic world, Baltimore, JHUP, hors coll., octobre 2011, 1^re éd., VIII-222 p., 15,2 × 22,8 cm (ISBN 978-1-421-40247-5, EAN 9781421402475, OCLC 701493145, S2CID 116975649, lire en ligne).
• [de Sitter 1917] (en) Willem de Sitter, « On Einstein's theory of gravitation and its astronomical consequences : third paper », MNRAS, vol. 78, n^o 1,‎ novembre 1917, p. 3-28 (OCLC 6911237789, DOI 10.1093/mnras/78.1.3, Bibcode 1917MNRAS..78....3D, lire en ligne [PDF]).
• [Eisenstaedt 2011] Jean Eisenstaedt, « La relativité générale au tournant des années soixante », Philosophia Scientiæ, vol. 15, n^o 3 : « L'espace et le temps »,‎ octobre 2011, p. 67-90 (DOI 10.4000/philosophiascientiae.682, S2CID 122982633, résumé, lire en ligne [PDF]).
• [Ivancevic et Ivancevic 2008] (en) Vladimir G. Ivancevic et Tijana T. Ivancevic, Quantum leap : from Dirac and Feynman, across the Universe, to human body and mind, Singapour, World Scientific, hors coll., octobre 2008, 1^re éd., XVI-839 p., 15,8 × 24,1 cm (ISBN 978-981-281-927-7, EAN 9789812819277, OCLC 236336001, DOI 10.1142/6913, S2CID 117016499, SUDOC 19908775X, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.5, introduction, n. 18, p. 370-371.

• Espace anti de Sitter
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