où Fi est le ie nombre de Fibonacci (avec la convention 0!F = 1).
Pour , on peut écrire .
Valeurs particulières
Les coefficients fibonomiaux sont entiers comme le montrera la relation de récurrence ci-dessous.
Voici quelques valeurs particulières :
Triangle fibonomial
De même que les coefficients binomiaux, disposés en triangle, forment le triangle de Pascal, les coefficients fibonomiaux, forment un triangle dit fibonomial, répertorié comme suite A010048 de l'OEIS.
En voici les huit premières lignes :
n = 0
1
n = 1
1
1
n = 2
1
1
1
n = 3
1
2
2
1
n = 4
1
3
6=2×3
3
1
n = 5
1
5
15=3×5
15
5
1
n = 6
1
8
40=5×8
60
40
8
1
n = 7
1
13
104=8×13
260
260
104
13
1
Relation de récurrence similaire à la relation de Pascal, permettant de construire le triangle, connaissant ses bords remplis de 1 :
.
Autre relation, similaire à la formule du pion, permettant de construire le triangle :
.
Les coefficients fibonomiaux sont reliés aux coefficients q-binomiaux par la formule :
Dov Jarden a prouvé que les coefficients fibonomiaux apparaissent comme coefficients d'une relation entre puissances de nombres de Fibonacci généralisés consécutifs. Plus précisément, pour toute suite de Fibonacci généralisée (c'est-à-dire satisfaisant à pour tout entier ), on a :
pour tout entier et tout entier naturel [1].
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fibonomial coefficient » (voir la liste des auteurs).
↑(en) Dov Jarden, Recurring Sequences : A Collection of Papers, Including New Factorizations of Fibonacci and Lucas Numbers, Jerusalem, Riveon Lematematika, , 2e éd. (1re éd. 1958), 170 p., p. 30-33
(en) Eric W. Weisstein, « Fibonomial Coefficient », sur MathWorld