Antirotation

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En géométrie, une antirotation est un type particulier d'antidéplacement (c.-à-d. d'isométrie qui renverse l'orientation) de l'espace euclidien de dimension 3 (espace affine euclidien ou espace vectoriel euclidien, suivant le contexte) : c'est la composée de deux transformations qui commutent : une rotation d'angle θ {\displaystyle \theta } autour d'un axe Δ {\displaystyle \Delta } et d'une réflexion par rapport à un plan Π {\displaystyle \Pi } perpendiculaire à cet axe, ce qui lui vaut aussi le nom de roto-réflexion, ou rotation-réflexion.

En remarquant que

( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 − 1 ) = − ( cos ⁡ ( θ + π ) − sin ⁡ ( θ + π ) 0 sin ⁡ ( θ + π ) cos ⁡ ( θ + π ) 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos(\theta +\pi )&-\sin(\theta +\pi )&0\\\sin(\theta +\pi )&\cos(\theta +\pi )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} [1],

on peut aussi voir une antirotation d'angle θ {\displaystyle \theta } comme la composée de la rotation d'axe Δ {\displaystyle \Delta } et d'angle θ + π {\displaystyle \theta +\pi } (ou d'axe opposé et d'angle π − θ {\displaystyle \pi -\theta } ) et de la symétrie centrale (notion à ne pas confondre avec celle d'inversion géométrique) par rapport au point d'intersection de Δ {\displaystyle \Delta } et Π {\displaystyle \Pi } (à nouveau, ces deux transformations commutent). Dans ce cas, on parle de roto-inversion d'angle θ + π {\displaystyle \theta +\pi } [2],[1].

On parle parfois aussi de rotation impropre[réf. nécessaire].

Notes et références

  1. ↑ a et b Dieter Schwarzenbach et Gervais Chapuis, Cristallographie, PPUR, (lire en ligne), p. 32.
  2. ↑ (en) Theo Hahn et Hans Wondratschek, Symmetry of Crystals : Introduction to International Tables for Crystallography Vol. A, Heron Press Ltd., (ISBN 954-580-007-0).

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