| Artikkeli Maksimi-minimi-lause tulisi yhdistää tähän artikkeliin. Yhdistämisestä saatetaan keskustella artikkelin keskustelusivulla. |
Weierstrassin lause on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon. [1]
Olkoon f: [a, b] → R jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että välillä [a, b] on luvut c ja d siten, että kaikilla välin pisteillä funktion arvo pysyy arvojen f(c) ja f(d) välissä. Matemaattisesti
- .
Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.
Todistus
Todistetaan, että löydetään suurin arvo kuten edellä mainittu. Pienin arvo löydetään vastaavasti, kun tutkitaan funktiota .
Tehdään oletus, että ei ole rajoitettu välillä .
Tällöin , jolla . Koska on rajoitettu, niin Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla :lla on suppeneva osajono eli kun . Koska , niin .
Koska on jatkuva :ssa, niin siten, että , kun . Koska niin siten, että , kun . Näillä pätee . Mutta koska ja koska , kun , niin saadaan ristiriita.
Näin ollen on rajoitettu välilä , mistä seuraa se, että on olemassa . Nyt on osoitettava vielä jollakin .
, jolle . Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla jonolla on olemassa suppeneva osajono , jolla , kun . Funktion jatkuvuuden nojalla , kun . Toisaalta , mistä seuraa kuristusperiaatteen nojalla .
Lähteet
- ↑ Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 383–384 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla
- Extreme value theorem (cut-the-knot) (englanniksi)