Tšebotarevin tiheyslause

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Tämän artikkelin tai sen osan määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin määritelmää. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla.

Olkoon ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle K}$:n Galois'n laajennus Galois'n ryhmänään ${\displaystyle G}$. Asetetaan kaikille ${\displaystyle K}$:n alkuideaaleille ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, jotka ovat haarautumattomia ${\displaystyle L}$:ssä, ${\displaystyle ({\mathfrak {p}},L/K):=\{({\mathfrak {P}},L/K)|{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}\}}$. Tämä on ${\displaystyle G}$:n konjugaattiluokka.

Tšebotarevin tiheyslause: Olkoon ${\displaystyle L/K}$ lukukuntien äärellinen laajennus Galois'n ryhmänään ${\displaystyle G}$ ja olkoon ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$:n konjugaattiluokka. Tällöin niiden ${\displaystyle K}$:n alkuideaalien joukko, jolle ${\displaystyle ({\mathfrak {p}},L/K)=C}$, on Dirichlet'n tiheys ${\displaystyle |C|/|G|}$ kaikkien ${\displaystyle K}$:n alkuideaalien joukossa. Erityisesti jos ${\displaystyle G}$ on Abelin ryhmä, kaikilla kiinnitetyillä ${\displaystyle \tau \in G}$, joukon ${\displaystyle K}$ niiden alkuideaalien ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ joukolla, jolle ${\displaystyle ({\mathfrak {p}},L/K)=\tau }$, on tiheys ${\displaystyle (G:1)}$.

Lause todistetaan yleensä luokkakuntateorian avulla, mutta lauseelle on esitetty myös alkeellisia todistuksia (Fried, Jarden:Field Arithmetic) samoin kuin algebralliseen lukuteoriaan perustuva todistus (Schoof: Catalan's Conjecture).

• Milne, J. S.: Class field theory.