Fermat’n monikulmiolause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Fermat'n monikulmiolauseen mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku on ${\displaystyle n}$:n ${\displaystyle n}$-kulmioluvun summa.

Esimerkkinä kolmioluvuista on 17 = 10 + 6 + 1.

Tunnettu erikoistapaus lauseesta on Lagrangen neljän neliön lause, jonka mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää neljän neliön summana. Esimerkiksi ${\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}}$.

Joseph-Louis Lagrange todisti neliötapauksen vuonna 1770, ja Gauss todisti kolmiolukuja koskevan tapauksen vuonna 1796. Lauseen todisti kokonaisuudessaan vasta Augustin Louis Cauchy vuonna 1813. Lauseen todistus perustuu seuraavaan Cauchyn keksimään tulokseen:

Jos ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat parittomia positiivisia lukuja, joille ${\displaystyle b^{2}<4a}$ ja ${\displaystyle 3a<b^{2}+2b+4}$, voidaan löytää epänegatiiviset kokonaisluvut ${\displaystyle s,t,u}$ ja ${\displaystyle v}$ siten, että ${\displaystyle a=s^{2}+t^{2}+u^{2}+v^{2}}$ ja ${\displaystyle b=s+t+u+v.}$

• Eric W. Weisstein. "Fermat's Polygonal Number Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FermatsPolygonalNumberTheorem.html
• Nathanson, M. B. "A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 22–24, 1987.