Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los números reales , que son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico . El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein.
El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de De Casteljau .
Definición Un polinomio de Bernstein P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} de orden n aproxima una función f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} en un intervalo, mejor cuanto mayor sea n , a partir de esta fórmula:
P ( x ) = ∑ i = 0 n c i B i n ( x ) {\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}B_{i}^{n}(x)}} donde los B i n ( x ) {\displaystyle B_{i}^{n}(x)} son elementos de la distribución binomial respecto de la variable x {\displaystyle x\,} y los c i {\displaystyle c_{i}\,} son valores de la función que queremos aproximar.
Para aproximar la función en el intervalo [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]\,} estos elementos toman los siguientes valores:
c i = f ( i n ) y B i n ( x ) = ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i {\displaystyle c_{i}=f\left({\frac {i}{n}}\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}} (aquí ( n i ) {\displaystyle {n \choose i}} es el coeficiente binomial).
y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,} , los B i n ( x ) [ a , b ] {\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}} se convierten en polinomios de la base de Bernstein:
c i = f ( i b − a n + a ) y B i n ( x ) [ a , b ] = ( n i ) ( x − a ) i ( b − x ) n − i ( b − a ) n {\displaystyle c_{i}=f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}} Así, la fórmula general desarrollada es:
P ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i b − a n + a ) n ! i ! ( n − i ) ! ( x − a ) i ( b − x ) n − i ( b − a ) n {\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right){\frac {n!}{i!(n-i)!}}{\frac {(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}}{(b-a)^{n}}}}}
Propiedades Polinomios de Bernstein de grado 3. Para un grado n , existen n+1 polinomios de Bernstein B 0 n , … , B n n {\displaystyle B_{0}^{n},\dots ,B_{n}^{n}} definidos sobre el intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,} , por
B i n ( x ) [ a , b ] = ( n i ) ( x − a ) i ( b − x ) n − i ( b − a ) n {\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}} Estos polinomios presentan estas propiedades importantes, que cumplen para cualquier valor de x {\displaystyle x\,} en el intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,}
Partición de la unidad : ∑ i = 0 n B i n ( x ) = 1 {\displaystyle \qquad \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1} Positividad : B i n ( x ) ≥ 0 , ∀ i ∈ 0 … n {\displaystyle B_{i}^{n}(x)\geq 0,\qquad \forall i\in 0\dots n} Simetría : B i n ( x ) = B n − i n ( 1 − x ) , ∀ i ∈ 0 … n {\displaystyle B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x),\qquad \forall i\in 0\dots n} Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa . La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión. Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial .
Para el intervalo [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]\,} existe esta fórmula de recurrencia:
B i n ( x ) = { ( 1 − x ) B i n − 1 ( x ) , i = 0 ( 1 − x ) B i n − 1 ( x ) + x B i − 1 n − 1 ( x ) , i = 1 … n − 1 x B i − 1 n − 1 ( x ) , i = n {\displaystyle B_{i}^{n}(x)={\begin{cases}(1-x)B_{i}^{n-1}(x),&i=0\\(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=1\dots n-1\\xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=n\end{cases}}} .
Ejemplo En el caso de un polinomio de orden 2 {\displaystyle 2} la base en [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]\,} está compuesta de:
B 0 2 ( x ) = ( 2 0 ) x 0 ( 1 − x ) 2 − 0 = ( 1 − x ) 2 {\displaystyle B_{0}^{2}(x)={2 \choose 0}x^{0}(1-x)^{2-0}=(1-x)^{2}} B 1 2 ( x ) = ( 2 1 ) x 1 ( 1 − x ) 2 − 1 = 2 x ( 1 − x ) {\displaystyle B_{1}^{2}(x)={2 \choose 1}x^{1}(1-x)^{2-1}=2x(1-x)} B 2 2 ( x ) = ( 2 2 ) x 2 ( 1 − x ) 2 − 2 = x 2 {\displaystyle B_{2}^{2}(x)={2 \choose 2}x^{2}(1-x)^{2-2}=x^{2}} Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:
P ( x ) = c 0 B 0 2 ( x ) + c 1 B 1 2 ( x ) + c 2 B 2 2 ( x ) = f ( 0 ) ( 1 − x ) 2 + 2 f ( 1 2 ) x ( 1 − x ) + f ( 1 ) x 2 {\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{2}(x)+c_{1}B_{1}^{2}(x)+c_{2}B_{2}^{2}(x)=f(0)(1-x)^{2}+2f\left({\frac {1}{2}}\right)x(1-x)+f(1)x^{2}} Si aproximamos f 1 ( x ) = x {\displaystyle f_{1}(x)=x\,} obtenemos el mismo polinomio: P 1 ( x ) = x {\displaystyle P_{1}(x)=x\,}
si evaluamos f 2 ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}\,} aproxima a: P 2 ( x ) = x 2 + x 2 {\displaystyle P_{2}(x)={\frac {x^{2}+x}{2}}\,}
y probando con f 3 ( x ) = e x {\displaystyle f_{3}(x)=e^{x}\,} resulta: P 3 ( x ) = ( 1 − x ) 2 + 2 e x ( 1 − x ) + e x 2 ≈ 0.421 x 2 + 1.29 x + 1 {\displaystyle P_{3}(x)=(1-x)^{2}+2{\sqrt {e}}\,x(1-x)+ex^{2}\approx \ 0.421x^{2}+1.29x+1\,}
Aplicaciones Los polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y por esto son también utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como, por ejemplo, la curva de Beziér , así como para la estimación de las funciones de densidad de probabilidad :
Para n que tiende al infinito, el polinomio converge uniformamente hacia la función f (x), o sea
| B n ( x ) − f ( x ) | ≤ 5 / 4 ω ( f , 1 / n ) {\displaystyle |B_{n}(x)-f(x)|\leq 5/4\ \omega (f,1/{\sqrt {n}})} donde
ω ( f , δ ) = sup | h | ≤ δ | f ( x + h ) − f ( x ) | {\displaystyle \omega (f,\delta )=\sup _{|h|\leq \delta }|f(x+h)-f(x)|} , llamado módulo de continuidad.
Véase también Datos: Q826841 Multimedia: Bernstein polynomials / Q826841