Número doble de Mersenne
Números dobles de Mersenne primos | ||
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No. de términos conocidos | 4 | |
No. conjeturado de términos | 4 | |
Primeros términos | 7, 127, 2147483647 | |
Mayor término conocido | 170141183460469231731687303715884105727 | |
índice OEIS |
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En matemáticas, un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma
donde el exponente es a su vez el número de Mersenne , con n natural.
Números dobles de Mersenne primos
A menudo se consideran solamente los números dobles de Mersenne que son primos.
Como un número de Mersenne es primo solo si es primo (puede ver la demostración en el artículo "Número de Mersenne"), se tiene que un número doble de Mersenne es primo solo si es a su vez un número primo de Mersenne.
Los primeros valores de p para los cuales es primo son p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. De ellos, se sabe que es primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19 y 31, se han hallado factores de forma explícita, con lo que está demostrado que los números dobles de Mersenne correspondientes son compuestos. Por tanto, el candidato más pequeño para ser un número doble de Mersenne primo es , es decir, 22305843009213693951 − 1. Con aproximadamente 6,94 × 1017 cifras, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad de los que se conocen en la actualidad, aunque se sabe que no tiene ningún factor primo menor que 4 × 1033.[1]
He aquí la lista de los números dobles de Mersenne primos que se conocen en la actualidad:[2]
- (sucesión A077586 en OEIS)
El siguiente candidato más pequeño para convertirse en el próximo doble primo de Mersenne es , o 22305843009213693951 − 1. Siendo aproximadamente 1.695×10694127911065419641, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad actualmente conocido. No tiene factor primo por debajo de 1 × 1036.[3]
Se conjetura con que probablemente no haya otros primos de Mersenne dobles además de los cuatro conocidos.[2][4]
Los factores primos más pequeños de cada (donde p es el n-ésimo número primo) son los factores siguientes:
- 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617 ... (se ha comprobado que el siguiente menor término primo tiene que ser > 1 × 1036) (sucesión A309130 en OEIS)
Números de Catalan-Mersenne
Sea . La sucesión definida de forma recursiva como:
- 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (sucesión A007013 en OEIS)
se conoce como la sucesión de los números de Catalan-Mersenne.[5] Se dice[6] que a Catalan se le ocurrió esta sucesión tras descubrir Lucas en 1876 que era primo.
Aunque los primeros cinco términos son primos, ningún método conocido puede probar que cualquier otro término sea primo (en un tiempo razonable) simplemente porque son números demasiado grandes. Sin embargo, si no es primo, existe la posibilidad de descubrirlo calculando el módulo de respecto a algún primo pequeño (usando la exponenciación modular recursiva). Si el residuo resultante es cero, representa un factor de y, por lo tanto, refutaría su primalidad. Dado que es un número primo de Mersenne, dicho factor primo tendría que ser de la forma . Además, debido a que es compuesto cuando es compuesto, el descubrimiento de un término compuesto en la secuencia descartaría la posibilidad de más números primos en la secuencia.
En la cultura popular
- En la serie de dibujos animados Futurama The Beast with a Billion Backs, el doble número de Mersenne se ve brevemente en "una prueba elemental de la conjetura de Goldbach". En el episodio, este número se conoce como primo marciano.
Véase también
- Cadena de Cunningham
- Función doble exponencial
- Número de Fermat
- Número perfecto
- Número primo de Wieferich
Referencias
- ↑ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 Archivado el 15 de febrero de 2009 en Wayback Machine..
- ↑ a b Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists en las Prime Pages.
- ↑ «Double Mersenne 61 factoring status». www.doublemersennes.org. Consultado el 31 de marzo de 2022.
- ↑ I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
- ↑ MathWorld: Catalan-Mersenne Number
- ↑ Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists en las Prime Pages.
Bibliografía
- L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpreso por Chelsea Publishing, Nueva York, 1971.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Double Mersenne Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Tony Forbes, Una búsqueda de un factor de MM61 Archivado el 8 de febrero de 2009 en Wayback Machine..
- Estado de la factorización de números dobles de Mersenne
- Búsqueda doble de Mersennes Prime
- Operazione Doppi Mersennes
Datos: Q1318413