En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.
Definición
Considérese la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:
La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:
Propiedades
En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:
En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:
Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas; de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:
Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:
Doble periodicidad
Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo:
Donde los valores que definen los períodos viene dados por:
donde q es el nomo de las funciones que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación:
Relaciones entre las funciones elípticas
Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son:
Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para las funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:
Funciones elípticas de Jacobi secundarias
A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:
En segundo lugar los cocientes:
Junto con sus respectivas funciones recíprocas:
Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.
Referencias
Bibliografía
Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988, pp. 185-89 ISBN 84-7615-197-7.
Enlaces externos
Weisstein, Eric W. «Función elíptica de Jacobi». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld(en inglés). Wolfram Research.
http://www.math.ohio-state.edu/~econrad/Jacobi/Jacobi.html (en inglés)