Equicontinuidad

Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ un espacio topológico, ${\displaystyle (Y,d)\,}$ un espacio métrico, y ${\displaystyle x_{0}}$ un punto en ${\displaystyle X}$. Un conjunto ${\displaystyle H}$ de funciones de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ se dice equicontinuo en ${\displaystyle x_{0}}$ si y solamente si para todo ${\displaystyle r>0,\exists A}$ entorno de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que ${\displaystyle \forall f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_{0}),r)}$

Debe tenerse en cuenta que, en particular, si ${\displaystyle H}$ es equicontinuo en ${\displaystyle x_{0}}$, entonces todas las funciones que pertenecen a ${\displaystyle H}$ son continuas en ${\displaystyle x_{0}}$.

Se dice que ${\displaystyle H}$ es equicontinua si lo es para todo ${\displaystyle x_{0}\in X}$.

Ejemplos

1. Si ${\displaystyle H}$ es una familia finita de funciones continuas, entonces es equicontinua
2. Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ es métrico y todas las funciones de ${\displaystyle H}$ son Lipschitz continuas con una misma constante ${\displaystyle K}$, entonces ${\displaystyle H}$ es equicontinua
3. Si ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} }$, todas las funciones de ${\displaystyle H}$ son derivables, y existe una constante ${\displaystyle K>0}$ tal que ${\displaystyle \forall f\in H,\forall x\in X,|f'(x)|<K}$, entonces se cumple que todas las funciones de ${\displaystyle H}$ son Lipschitz continuas de constante ${\displaystyle K}$, y por ende, ${\displaystyle H}$ es equicontinuo.

Esta última propiedad es una de las más usadas para verificar equicontinuidad de una familia de funciones.