Constante de Copeland-Erdős
La constante de Copeland-Erdős es una constante formada por la concatenación de "0," y la sucesión ordenada de los números primos en base 10. Su valor es aproximadamente
- 0,235711131719232931374143… (sucesión A33308 en OEIS).
Esta constante es irracional. Por el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, para cada m existen números primos de la forma
De esto se deduce que existen números primos cuya expresión decimal contiene al menos m ceros seguidos de un uno. Por tanto, la expresión decimal de la constante de Copeland-Erdős contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros seguidos de un uno, y por tanto no puede terminar nunca y tampoco puede ser periódica. La conclusión es que la constante es irracional (Hardy y Wright, pág. 113).
Por un argumento similar, cualquier constante creada por la concatenación de "0," y todos los primos de una progresión aritmética , donde a es coprimo con d y 10, es irracional. Por ejemplo, la concatenación de los números primos de la forma o . Por el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética contiene primos para todo m, y esos primos también están en , así que la concatenación de primos contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros.
En base 10 la constante es un número normal, un hecho demostrado por Arthur Herbert Copeland y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante).
La constante viene dada por esta fórmula:
donde p(n) es el n-ésimo número primo.
Su expresión en fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (A30168).
Referencias
- Hardy G. H. y E. M. Wright (1938) An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, USA; 5ª edición (17 de abril de 1980). ISBN 0-19-853171-0.
- Weisstein, Eric W. «Copeland-Erdős Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Véase también
- Números de Smarandache-Wellin: el valor truncado de esta constante multiplicada por la potencia de 10 apropiada.
Datos: Q931099