Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra[1]:
- Es sei
ein endlich erzeugter nichttrivialer
-Modul und
ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von
liegt. Dann ist
.
Beweis
Wir nehmen
an. Es sei
ein minimales Erzeugendensystem von
. Da
nichttrivial ist, folgt
und
.
Da nach Annahme
, gäbe es dann eine Gleichung der Form
mit
, also
.
Da
im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor
eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.
Folgerungen
- Ist
ein endlich erzeugter
-Modul,
ein Untermodul und
ein Ideal, so gilt
.
Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird[2], kann man zum Heben von Basen verwenden:
- Es seien
ein lokaler Ring,
sein maximales Ideal und
der Restklassenkörper.
- Sind dann
Urbilder einer Basis des
-Vektorraums
, so erzeugen die
den Modul
.
Einzelnachweise
- ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.5.24
- ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Lemma IV.2.2