Indexsatz für Blätterungen

In der Mathematik ist der Indexsatz für Blätterungen eine Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Indexsatzes. Sein Spezialfall für Blätterungen durch Fasern eines Faserbündels ist der Familien-Indexsatz.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Blätterung einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, mit transversalem Maß ${\displaystyle \Lambda }$ und zugehörigem Ruelle-Sullivan-Strom ${\displaystyle C}$, und sei ${\displaystyle D}$ ein blattweise elliptischer Operator. Dann ist das Integral über den Raum der Blätter ${\displaystyle \int \dim(ker(D_{F}))d\Lambda (F)}$ endlich (wobei jeweils ${\displaystyle D_{F}}$ die Einschränkung von ${\displaystyle D}$ auf das Blatt ${\displaystyle F}$ bezeichnet), und

${\displaystyle \int \dim(\ker(D_{F}))d\Lambda (F)-\int \dim(\ker(D_{F}^{*}))d\Lambda (F)=\langle ch(\sigma _{D})\cdot Td(M),\left[C\right]\rangle }$,

wobei ${\displaystyle \sigma _{D}}$ das Hauptsymbol von ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle ch}$ den Chern-Charakter und ${\displaystyle Td(M)}$ die Todd-Klasse von ${\displaystyle M}$ bezeichnet.

Zum Beispiel erhält man für den blattweisen Hodge-Laplace-Operator, wenn ${\displaystyle H^{j}(F)}$ den Raum der harmonischen ${\displaystyle j}$-Formen auf ${\displaystyle F}$ bezeichnet, dass ${\displaystyle \beta _{j}:=\int \dim H^{j}(F)d\Lambda (F)}$ endlich ist und ${\displaystyle \sum _{j}(-1)^{j}\beta _{j}=\langle e(T{\mathcal {F}}),\left[C\right]\rangle }$ für die Euler-Klasse ${\displaystyle e(T{\mathcal {F}})}$ des Tangentialbündels an die Blätter gilt.

• A. Connes: Feuilletages et algèbres d'opérateurs. Semin. Bourbaki, Vol. 1979/80, Exp. 551, Lect. Notes Math. 842, 139–155 (1981).
• A. Connes, G. Skandalis: The longitudinal index theorem for foliations. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20, 1139–1183 (1984).