Gaußsche isoperimetrische Ungleichung

Die gaußsche isoperimetrische Ungleichung ist in der Stochastik die isoperimetrische Ungleichung für den euklidischen Raum ausgestattet mit dem gaußschen Maß. Die Ungleichung sagt, dass unter allen Borel-Mengen im euklidischen Raum, die Halbräume das minimale gaußsche Oberflächenmaß besitzen.

Sie wurde von 1975 ([1]) von Christer Borell und unabhängig davon 1974 ([2]) von Wladimir Sudakow und Boris Tsirelson bewiesen.

Aussage

Sei

  • ( R n , B ( R n ) , γ n ; d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\gamma ^{n};d)} ein gaußscher Raum, der zusätzlich mit der euklidischen Metrik d {\displaystyle d} ausgestattet ist, wobei γ n ( d x ) = ( 2 π ) − n / 2 e − ‖ x ‖ 2 / 2 d n x {\displaystyle \gamma ^{n}(dx)=(2\pi )^{-n/2}e^{-\|x\|^{2}/2}d^{n}x} das kanonische n {\displaystyle n} -dimensionale gaußsche Maß ist.
  • Φ ( x ) = γ 1 ( [ − ∞ , t ] ) {\displaystyle \Phi (x)=\gamma ^{1}([-\infty ,t])} die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung,
  • H = { x ∈ R n : ⟨ x , u ⟩ < λ , u ∈ R n , λ ∈ [ − ∞ , + ∞ ] } {\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \langle x,u\rangle <\lambda ,u\in \mathbb {R} ^{n},\lambda \in [-\infty ,+\infty ]\}} ein Halbraum, der mit demselben gaußschen Maß γ n {\displaystyle \gamma ^{n}} ausgestattet ist,
  • A {\displaystyle A} eine Borel-Menge in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,
  • d ( x , A ) = inf { d ( x , a ) ; a ∈ A } {\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,a);a\in A\}} die kleinste Distanz zwischen x {\displaystyle x} und A {\displaystyle A} .
  • A r = { x ∈ R n : d ( x , A ) < r } {\displaystyle A_{r}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon d(x,A)<r\}} ist die geschlossene euklidische Nachbarschaft der Menge A {\displaystyle A} mit Radius r {\displaystyle r} . Analog die gleiche Definition für H r {\displaystyle H_{r}} . Beachte, H r {\displaystyle H_{r}} ist ein weiterer Halbraum.

Sei nun γ n ( H ) = γ n ( A ) {\displaystyle \gamma ^{n}(H)=\gamma ^{n}(A)} . Dann gilt für alle r > 0 {\displaystyle r>0} , dass H r {\displaystyle H_{r}} das kleinste gaußsche Maß besitzt, das bedeutet

γ n ( A r ) ≥ γ n ( H r ) . {\displaystyle \gamma ^{n}(A_{r})\geq \gamma ^{n}(H_{r}).}

Als Konsequenz folgt daraus

Φ − 1 ( γ n ( A r ) ) ≥ Φ − 1 ( γ n ( A ) ) + r . {\displaystyle \Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A_{r}))\geq \Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))+r.}

Außerdem, falls γ n ( A ) ≥ 1 / 2 {\displaystyle \gamma ^{n}(A)\geq 1/2} gilt, dann ist zusätzlich

1 − γ n ( A r ) ≤ 1 − Φ ( r ) ≤ 1 2 exp ⁡ ( − r 2 / 2 ) . {\displaystyle 1-\gamma ^{n}(A_{r})\leq 1-\Phi (r)\leq {\tfrac {1}{2}}\exp(-r^{2}/2).} [3]

Verallgemeinerungen

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, darunter die Bobkow-Ungleichung und die Ehrhard-Ungleichung.

Einzelnachweise

  1. ↑ Christer Borell: The Brunn-Minkowski Inequality in Gauss Space. In: Inventiones Mathematicae. Band 30, Nr. 2, 1975, S. 207–216, doi:10.1007/BF01425510 (eudml.org). 
  2. ↑ Wladimir N. Sudakow und Boris Tsirelson: Extremal properties of half-spaces for spherically invariant measures. In: Journal of Soviet Mathematics. Band 9, 1978, S. 9–18, doi:10.1007/BF01086099. 
  3. ↑ M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11. 

Literatur

  • D. W. Stroock: Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2023. 
  • M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11. 
  • Michail Anatoljewitsch Lifschitz: Lectures on Gaussian Processes. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 2012.