Bivektor

In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form ${\displaystyle u_{i}\wedge v_{i}}$ mit Vektoren ${\displaystyle u_{i},v_{i}}$. Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra ${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$.

Dabei ist

• ${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}$ und insbesondere ${\displaystyle u\wedge u=0}$,
• ${\displaystyle (u\wedge v)\wedge w=u\wedge (v\wedge w)}$,
• ${\displaystyle u\wedge (av+bw)=au\wedge v+bu\wedge w}$ für Körperelemente ${\displaystyle a,b}$.

Aus ${\displaystyle u=ae_{1}+be_{2},v=ce_{1}+de_{2}}$ für Vektoren ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ und Körperelemente ${\displaystyle a,b,c,d}$ folgt

${\displaystyle u\wedge v=\mathrm {det} \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)e_{1}\wedge e_{2}}$.

Falls ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ aufgespannten Parallelogramms.

Für ${\displaystyle \mathrm {dim} \,V\leq 3}$ kann man jeden Bivektor als ${\displaystyle u\wedge v}$ mit ${\displaystyle u,v\in V}$ zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.

Sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, dann bezeichnet ${\displaystyle \wedge ^{2}TM}$ den Raum der Bivektoren auf ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle \wedge ^{2}TM}$ ist ein Vektorbündel über ${\displaystyle M}$. Ein Bivektorfeld ${\displaystyle \pi :M\to \wedge ^{2}TM}$ ist eine Abbildung, welche jedem Punkt ${\displaystyle m\in M}$ einen Bivektor ${\displaystyle \pi (m)\in \wedge ^{2}TM}$ zuordnet. Der Raum der Bivektorfelder wird mit ${\displaystyle \Gamma (\wedge ^{2}TM)}$ notiert.^[1]

• bivector (nLab)

1. ↑ Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization. In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2. 2014, S. 11.